Una función conecta entradas con una sola salida

Una función asigna a cada x permitida exactamente un valor y. Puede representarse con fórmula, tabla, gráfica o descripción verbal. Ninguna representación es toda la función por sí sola: la fórmula explica reglas, la tabla muestra muestras y la gráfica revela forma global dentro de una ventana.

Prueba de la recta vertical

Una gráfica representa y como función de x si toda recta vertical la corta a lo sumo una vez. Un círculo completo falla porque ciertas x tienen dos valores y. Esto no vuelve inútil al círculo; solo indica que y no es función única de x sin separar ramas.

Dominio y rango

El dominio contiene entradas permitidas y el rango salidas obtenidas. Polinomios lineales y cuadráticos tienen dominio real completo. Una exponencial A·Bˣ+C requiere B positiva para una función real continua y tiene asíntota horizontal y=C cuando A no es cero.

La gráfica dibuja una ventana finita, no el dominio entero. Que una curva no aparezca fuera de x mínimo y máximo significa que no se muestra, no que deje de existir. La página informa el dominio algebraico por separado.

Cómo leer una ventana gráfica

Escala horizontal y vertical

Dos gráficas de la misma función pueden parecer distintas si cambian escalas. Una pendiente moderada puede verse casi vertical en una ventana estrecha de x y amplia de y. Este módulo fija la ventana x elegida y calcula un rango y con margen a partir de muestras visibles.

Interceptos

El intercepto y se obtiene con x=0. Los interceptos x resuelven f(x)=0. La gráfica ayuda a estimarlos, pero el grosor del trazo y los píxeles limitan precisión. Para una cuadrática, usa fórmula general; para una lineal, −b/m si m no es cero.

Muestreo y continuidad

El trazador une 161 valores consecutivos. En familias continuas admitidas, la línea es adecuada. Para funciones con discontinuidades, unir puntos a ambos lados podría dibujar un segmento falso. Por esa razón no se acepta una expresión arbitraria con denominadores o tangentes en este módulo.

Funciones lineales

Pendiente como razón de cambio

En y=mx+b, m=(cambio en y)/(cambio en x). Si m=3, aumentar x una unidad aumenta y tres. Si m es negativa, la recta decrece. Una pendiente cero produce función constante. La vertical x=k no puede escribirse como y=mx+b porque tendría múltiples y para la misma x.

Intercepto y

b=f(0) es el punto (0,b). Puede representar cuota fija. Un costo C(x)=80x+500 MXN tiene $500 iniciales y $80 por unidad. La interpretación solo vale si el modelo es lineal y x usa la unidad indicada.

Construir con dos puntos

Dados (x₁,y₁) y (x₂,y₂), m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) cuando x₂≠x₁. Después b=y₁−mx₁. Si las x son iguales, la recta es vertical y no pertenece a la familia seleccionada.

Extrapolar lejos de los datos puede fallar. Un precio, crecimiento o velocidad no continúa linealmente por obligación matemática. La recta describe la regla introducida; la validez externa depende del fenómeno.

Funciones cuadráticas

Apertura y vértice

En y=ax²+bx+c, a>0 abre hacia arriba y a<0 hacia abajo. El eje es x=−b/(2a); evaluar ahí da el vértice. Para x²−4x+3, el eje es x=2 y el vértice (2,−1). Las raíces 1 y 3 son simétricas respecto de x=2.

Formas equivalentes

La forma estándar muestra coeficientes; y=a(x−h)²+k muestra vértice; y=a(x−r₁)(x−r₂) muestra raíces. Expandir o factorizar no cambia la función. Elegir la forma adecuada facilita encontrar el rasgo relevante.

Rango

Si a>0, el vértice da mínimo y el rango es [k,∞). Si a<0, da máximo y el rango (−∞,k]. La gráfica ajustada debe mostrar ese giro si la ventana x incluye h; si no, puede parecer solo una curva creciente o decreciente.

Una trayectoria parabólica ideal, un área o una utilidad pueden modelarse con cuadrática, pero el dominio físico suele ser limitado. Tiempo negativo o producción fuera de capacidad puede carecer de sentido aunque la fórmula exista.

Funciones exponenciales

Base y crecimiento

En y=A·Bˣ+C con B>1, la magnitud respecto de C crece; con 0<B<1 decae. B=1 produce una constante. A negativo refleja la curva respecto de la asíntota y=C. Una base no positiva no define esta familia real continua para todo x.

Asíntota horizontal

Cuando la parte A·Bˣ se acerca a cero, y se aproxima a C sin alcanzarlo si A no es cero. La ventana puede hacer que parezca coincidir. El rango es (C,∞) si A>0 y (−∞,C) si A<0.

Factor por unidad frente a porcentaje

Un crecimiento de 5% por periodo usa B=1.05, no 5. Un descenso de 5% usa B=0.95. Si el periodo es mensual, x cuenta meses. Convertir una tasa anual a mensual requiere la convención del modelo; dividir entre doce no siempre conserva capitalización equivalente.

La tabla de cinco puntos permite comprobar. Para A=2,B=3,C=1, cada incremento unitario multiplica y−1 por tres. Esa razón constante distingue la exponencial de una recta, cuya diferencia y es constante.

Usar la gráfica como argumento, no como adorno

Comprobar con tabla y rasgos

Verifica f(0), al menos dos muestras y un rasgo algebraico. En cuadráticas, confirma el vértice; en lineales, la pendiente; en exponenciales, la asíntota. Si la curva contradice esos valores, revisa ventana o parámetros.

Accesibilidad y copia

Una imagen sola no comunica valores exactos a todas las personas. Por eso el módulo acompaña el SVG con ecuación, dominio, intercepto, rasgo y tabla. Al compartir, copia esos datos además de una captura.

Redondeo visual

El trazo usa coordenadas de píxel y muestras. No midas una raíz con precisión de muchos decimales desde la imagen. Calcula el valor algebraicamente y usa la curva para interpretar signo, tendencia y escala.

Una calculadora gráfica no decide qué familia modela datos. Compara residuos, unidades y supuestos. Tres puntos pueden ajustarse exactamente con una cuadrática sin demostrar que el proceso sea cuadrático. En análisis mexicano de precios, población o consumo, documenta periodo, fuente y moneda real o nominal.

Prueba la cuadrática predeterminada en x=1,2 y 3: los valores son 0, −1 y 0. La tabla debe reflejar simetría alrededor de x=2, y el SVG debe mostrar el vértice debajo del eje. Esta verificación combina fórmula, tabla y forma visual.