Un vector combina magnitud y dirección

Un vector no es solo una lista de números. Sus componentes describen cuánto avanza en cada eje. En dos dimensiones, A=(3,4) avanza tres unidades en x y cuatro en y. En tres dimensiones, A=(3,4,0) agrega el desplazamiento z. El punto final depende del origen elegido, pero el vector de desplazamiento conserva sus componentes al trasladarse paralelamente.

Vector frente a punto y escalar

El par (3,4) puede representar un punto o un vector según el contexto. Un escalar, como temperatura o masa, tiene magnitud pero no dirección. Una velocidad de 60 km/h hacia el norte es vectorial; “60 km/h” sin dirección es rapidez escalar. Las operaciones válidas dependen de esa distinción y de las unidades.

La dimensión debe coincidir

No se suma directamente un vector 2D con uno 3D. Podría incrustarse el primero como (x,y,0), pero esa es una decisión del modelo, no una regla automática. La calculadora exige la misma cantidad de componentes para A y B y limita el producto cruz a tres dimensiones.

Las componentes pueden ser negativas. A=(−2,5) apunta a la izquierda y hacia arriba en un sistema usual. Cambiar el orden altera el vector: (−2,5) no es (5,−2). Escribe componentes en el orden definido por tu problema y conserva una convención de ejes.

Magnitud y vector unitario

Teorema de Pitágoras en varias dimensiones

La magnitud de A=(a₁,a₂,…,aₙ) es |A|=√(a₁²+a₂²+…+aₙ²). Para (3,4,0), |A|=√(9+16)=5. La magnitud nunca es negativa y vale cero únicamente cuando todas las componentes son cero. Si las componentes son metros, la magnitud también se expresa en metros.

Normalizar sin cambiar dirección

Un vector unitario tiene magnitud uno. Para A no nulo, divide cada componente entre |A|. El unitario de (3,4) es (0.6,0.8). Multiplicarlo de nuevo por 5 reconstruye A. El vector cero no puede normalizarse porque exigiría dividir entre magnitud cero y no tiene una dirección única.

Distancia entre puntos

Si P=(x₁,y₁) y Q=(x₂,y₂), el desplazamiento P→Q es Q−P y la distancia es |Q−P|. Entre P=(1,2) y Q=(4,6), el vector es (3,4) y la distancia 5. La resta debe respetar el mismo orden en cada componente; invertirla cambia la dirección, pero no la magnitud.

Suma, resta y combinación lineal

La suma se realiza componente a componente: (a₁,a₂)+(b₁,b₂)=(a₁+b₁,a₂+b₂). Geométricamente, coloca el origen de B en la punta de A; el vector desde el inicio hasta la nueva punta es A+B. La resta A−B equivale a sumar −B y señala de B hacia A si ambos son vectores de posición.

Multiplicar por un escalar

kA multiplica todas las componentes. Si k es positivo, conserva dirección y escala magnitud por k. Si es negativo, invierte dirección y escala por |k|. En una ruta, 0.5A recorre la mitad del desplazamiento. No confundas esta operación con producto punto, que combina dos vectores y devuelve un escalar.

Unidades en la suma

Solo suma componentes con unidades compatibles. Un desplazamiento en metros no se suma a una velocidad en m/s. Convierte primero centímetros a metros si ambos describen longitud. En coordenadas geográficas, grados de latitud y longitud no son distancias cartesianas uniformes; para trayectos en México se necesita una proyección o fórmula geodésica apropiada.

Una combinación lineal αA+βB construye nuevos vectores a partir de A y B. Si B es múltiplo de A, ambos son paralelos y abarcan una sola dirección. Si no son múltiplos en 2D, pueden abarcar el plano. Las matrices organizan muchas combinaciones lineales simultáneas.

Producto punto y ángulo

Dos formas de la misma operación

Por componentes, A·B=Σaᵢbᵢ. Geométricamente, A·B=|A||B|cosθ. Para A=(3,4,0) y B=(1,−2,5), el producto es −5. Como |A|=5 y |B|=√30, cosθ=−5/(5√30)=−1/√30; el ángulo es aproximadamente 100.52°, obtuso porque el producto es negativo.

Perpendicularidad y proyección

Vectores no nulos son perpendiculares cuando su producto punto es cero. La proyección escalar de A sobre B es A·B/|B|; la proyección vectorial es (A·B/|B|²)B. Un producto positivo indica componente en la misma dirección, uno negativo en la dirección opuesta.

Cuidar el dominio del coseno

Por redondeo numérico, el cociente A·B/(|A||B|) puede quedar apenas fuera de [−1,1]. El código lo limita a ese intervalo antes de aplicar arccos. Si alguno es cero, el ángulo no está definido porque el vector cero carece de dirección. La página muestra un error en ese caso.

Producto cruz y aplicaciones

En tres dimensiones, A×B produce un vector perpendicular a ambos. Para A=(a₁,a₂,a₃) y B=(b₁,b₂,b₃), sus componentes son (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁). El orden importa: B×A=−(A×B).

Magnitud como área

|A×B|=|A||B|senθ y representa el área del paralelogramo formado por A y B. La mitad da el área del triángulo. Si el producto cruz es cero para vectores no nulos, son paralelos. Esta lectura ofrece una comprobación independiente de las componentes calculadas.

Regla de la mano derecha

La dirección de A×B se determina con la regla de la mano derecha y depende de la orientación del sistema. Invertir operandos invierte el vector. En física, torque r×F y fuerza magnética usan esta orientación; no basta con calcular la magnitud si el signo y la dirección afectan el fenómeno.

Aplicaciones y límites

Vectores aparecen en fuerzas, velocidades, gráficos, robótica y geometría. Esta calculadora trabaja en espacio euclidiano con componentes numéricas. No sustituye transformaciones de coordenadas, análisis de incertidumbre ni unidades vectoriales especializadas. Si una fuerza está dada por magnitud y rumbo, conviértela primero a componentes usando senos y cosenos con una convención angular clara.

Para revisar una respuesta vectorial, confirma número de componentes, unidad y tipo. Suma y cruz producen vectores; punto, magnitud y ángulo producen escalares. Después prueba una propiedad: A·B=B·A, pero A×B=−B×A. Un resultado que viola esas relaciones señala un orden o signo equivocado.

Como ejercicio final, usa A=(1,0,0) y B=(0,1,0). Ambas magnitudes son uno, el producto punto es cero, el ángulo es 90° y A×B=(0,0,1). Este caso de ejes unitarios ofrece una prueba simple del orden de componentes y de la orientación antes de trabajar con datos menos intuitivos.