Un número complejo combina dos coordenadas

Un número complejo se escribe z=a+bi, donde a es la parte real, b el coeficiente imaginario e i satisface i²=−1. El número 3+4i no significa que 3 y 4i puedan sumarse como términos semejantes; identifica el punto (3,4) en un plano con eje real horizontal y eje imaginario vertical.

Por qué aparece i

Ningún número real al cuadrado produce −1. Extender el sistema con i permite resolver ecuaciones como x²+1=0, cuyas soluciones son i y −i. Los reales siguen incluidos: 5 equivale a 5+0i. Un imaginario puro como −2i equivale a 0−2i.

Igualdad de complejos

Dos complejos son iguales cuando coinciden por separado sus partes reales e imaginarias. Si a+bi=c+di, entonces a=c y b=d. Esta regla permite comparar resultados y resolver ecuaciones separando componentes. No se puede ordenar todos los complejos con una relación “mayor que” compatible con su aritmética como se hace en los reales.

La interfaz pide los coeficientes por separado para evitar ambigüedad de signos y paréntesis. Capturar real 3 e imaginario −4 produce 3−4i. No escribas la letra i dentro del campo; el valor es el coeficiente que la acompaña.

Suma, resta y multiplicación

Combinar componentes semejantes

Para sumar, agrega reales con reales e imaginarios con imaginarios: (3+4i)+(1−2i)=4+2i. Para restar B, distribuye el signo: (3+4i)−(1−2i)=3+4i−1+2i=2+6i. El error frecuente es cambiar solo el signo de la parte real y conservar −2i.

Multiplicar y sustituir i²

Distribuye como dos binomios: (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i². Como i²=−1, la parte real es ac−bd y la imaginaria ad+bc. Con A=3+4i y B=1−2i: real=3×1−4×(−2)=11; imaginaria=3×(−2)+4×1=−2. El producto es 11−2i.

Potencias cíclicas de i

Las potencias se repiten cada cuatro: i⁰=1, i¹=i, i²=−1, i³=−i e i⁴=1. Para i²⁷, divide 27 entre 4; el residuo es 3, así que i²⁷=i³=−i. Este ciclo simplifica expresiones antes de combinar otros términos.

Dividir mediante el conjugado

El conjugado de c+di es c−di. Multiplicar ambos produce c²+d², un real no negativo: (c+di)(c−di)=c²+d². Para dividir (a+bi)/(c+di), multiplica numerador y denominador por c−di. El resultado tiene parte real (ac+bd)/(c²+d²) e imaginaria (bc−ad)/(c²+d²).

Ejemplo de división

Para (3+4i)/(1−2i), el denominador es 1²+(−2)²=5. La parte real es [3×1+4×(−2)]/5=−1 y la imaginaria [4×1−3×(−2)]/5=2. La respuesta es −1+2i. Comprueba multiplicando (−1+2i)(1−2i)=3+4i.

División entre cero complejo

El denominador c²+d² solo es cero cuando c=0 y d=0. Dividir entre 0+0i no está definido, igual que dividir entre cero real. Un denominador muy pequeño puede amplificar redondeos; conserva suficientes cifras y evalúa el contexto numérico.

El conjugado también racionaliza denominadores y aparece en el módulo: |z|²=z·conjugado(z). Para 3+4i, el producto (3+4i)(3−4i)=25 y el módulo es √25=5. Esta identidad sirve como comprobación independiente.

Forma polar: módulo y argumento

Distancia al origen

El módulo r=√(a²+b²) es la distancia del punto al origen. Para 3+4i vale 5. Siempre es no negativo y solo es cero para 0+0i. El módulo del producto cumple |zw|=|z||w|, y el de un cociente cumple |z/w|=|z|/|w| cuando w no es cero.

Ángulo y cuadrante

El argumento θ describe el ángulo desde el eje real positivo. Debe calcularse con una función de dos argumentos, atan2(b,a), para conservar el cuadrante. Usar solo arctan(b/a) confunde puntos opuestos y falla cuando a=0. Esta página presenta el argumento principal entre −180° y 180°; se pueden sumar múltiplos de 360° para ángulos equivalentes.

Forma r∠θ y forma exponencial

Un complejo no nulo puede escribirse r(cosθ+i senθ), r∠θ o re^iθ. Para 3+4i, r=5 y θ≈53.1301°. La forma polar facilita productos: se multiplican módulos y se suman ángulos. En cocientes, se dividen módulos y se restan argumentos.

Raíces y potencias

La fórmula de De Moivre eleva r y multiplica el ángulo. Las raíces n-ésimas tienen n valores distribuidos alrededor de un círculo, no solo uno. Este módulo informa rectangular y polar de una operación básica; una calculadora de ecuaciones complejas debe enumerar todas las ramas y no limitarse a la raíz principal del navegador.

En circuitos de corriente alterna, los complejos representan magnitud y fase de impedancias o fasores. Las unidades siguen siendo esenciales: 3+4i ohmios no es un punto abstracto sin contexto. En control, señales y transformadas, la convención de signo del ángulo puede variar. Confirma la definición del sistema antes de interpretar fase.

Ejemplo polar de un producto

Considera z₁=2∠30° y z₂=3∠−45°. El producto tiene módulo 2×3=6 y argumento 30°−45°=−15°, por lo que es 6∠−15°. En rectangular, cos(−15°)≈0.9659 y sen(−15°)≈−0.2588; el resultado aproximado es 5.7956−1.5529i. Multiplicar directamente las formas rectangulares debe producir el mismo punto dentro del redondeo.

Para un cociente, divide módulos y resta ángulos. z₁/z₂ tiene módulo 2/3 y argumento 75°. Esta aritmética explica por qué la forma polar es eficiente para cadenas de productos, mientras la forma rectangular es cómoda para sumas y restas. Convierte según la operación en lugar de declarar una forma universalmente mejor.

Argumento principal y discontinuidad

Al cruzar el eje real negativo, el argumento principal salta de cerca de 180° a cerca de −180°, aunque los puntos estén muy próximos. No es un salto físico del punto, sino la decisión de limitar el ángulo a un intervalo. En una serie temporal de fase puede ser necesario “desenvolver” ángulos sumando 360° para mantener continuidad.

Resolver una cuadrática con discriminante negativo

En x²−2x+5=0, el discriminante es (−2)²−4×1×5=−16. La raíz cuadrada es 4i y las soluciones son [2±4i]/2=1±2i. Sustituir 1+2i produce (1+2i)²−2(1+2i)+5=0. Los complejos permiten conservar soluciones exactas donde una calculadora limitada a reales mostraría error de dominio.

Redondeo de componentes

Redondear módulo y ángulo y después volver a rectangular puede alterar ambas componentes. Conserva los valores internos durante operaciones sucesivas y redondea solo la presentación final. Si el resultado se usa en ingeniería, aplica la tolerancia del modelo y de la medición; diez decimales del software no garantizan diez decimales físicos.

Para revisar una división, no basta con mirar el módulo. Multiplica la respuesta compleja por el denominador y comprueba por separado que regresen las partes real e imaginaria del numerador. Dos resultados pueden tener el mismo módulo y ángulos diferentes, de modo que una sola magnitud no identifica al número.