Integrar conecta acumulación y operación inversa

Una integral indefinida ∫f(x)dx representa la familia de funciones F cuya derivada es f. Se escribe F(x)+C porque cualquier constante desaparece al derivar. Una integral definida ∫aᵇf(x)dx es un número que mide acumulación neta entre a y b.

Por qué aparece +C

Si F′=f, entonces (F+7)′ también es f. Sin una condición inicial no puede elegirse una sola constante. En una integral definida, C se cancela: [F(b)+C]−[F(a)+C]=F(b)−F(a).

Área neta

La integral suma áreas con signo. Región sobre el eje x aporta positivo y debajo negativo. Puede valer cero aunque exista área geométrica, por cancelación. Para área total, divide en ceros y suma integrales de |f| o magnitudes por tramo.

Las unidades se multiplican. Si f es velocidad en km/h y x horas, la integral es kilómetros. Si f es flujo en litros por minuto y x minutos, produce litros. Esta lectura ayuda a distinguir integral de un simple promedio.

Regla de potencia y polinomios

Elevar exponente y dividir

Para n≠−1, ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C. Por ejemplo, ∫3x²dx=x³+C y ∫−6x dx=−3x²+C. La derivada de x³−3x² es 3x²−6x, comprobación directa.

Excepción n=−1

La fórmula dividiría entre cero. ∫1/x dx=ln|x|+C en intervalos que no cruzan cero. El valor absoluto permite x negativo. Una integral definida que atraviesa cero es impropia y no se evalúa como F(b)−F(a) sin analizar convergencia.

Linealidad

∫[af+bg]dx=a∫f dx+b∫g dx. Un polinomio se integra término por término. El término constante c se convierte en cx. Ceros internos de la lista conservan los grados igual que en derivación.

Teorema fundamental del cálculo

Evaluar F(b)−F(a)

Si f es continua en [a,b] y F′=f, entonces ∫aᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Para f=3x²−6x, una antiderivada es x³−3x². De 0 a 3: F(3)−F(0)=27−27−0=0.

Interpretar cero

f=3x(x−2) es positiva de 2 a 3 y negativa de 0 a 2. Las contribuciones se cancelan en el intervalo completo. El área geométrica no es cero. Calcula los tramos separados por x=0 y x=2 y suma valores absolutos si esa es la pregunta.

Invertir límites

∫bᵃf=−∫aᵇf. Si los límites son iguales, la integral es cero. La calculadora conserva el orden introducido y Simpson usa un paso con signo, de modo que ambos métodos reflejan la orientación.

Una función puede ser integrable aun con ciertas discontinuidades, pero el teorema básico requiere condiciones. Las familias admitidas son continuas en sus dominios; A/x se rechaza si el intervalo incluye cero.

Exponenciales y trigonometría

Deshacer la cadena lineal

∫eᵏˣdx=eᵏˣ/k para k≠0 porque derivar multiplica por k. En seno y coseno ocurre lo mismo: se divide entre k. El signo de la antiderivada de seno es negativo porque d cos(kx)/dx=−k sen(kx).

Radianes

Las fórmulas trigonométricas estándar suponen radianes. Si x está en grados, aparece π/180 al derivar y su inverso al integrar. Esta página usa radianes para parámetros y límites angulares.

k igual a cero

Ae⁰=A es constante y su integral es Ax. A sen(0)=0 integra a constante; A cos(0)=A. En lugar de dividir entre cero, clasifica la función constante. El módulo maneja esos casos de manera explícita.

En una exponencial de crecimiento, la integral puede representar acumulación de una tasa que cambia. No confundas el valor final f(b) con la suma acumulada. Ambos tienen unidades distintas.

Regla de Simpson como comprobación numérica

Parábolas sobre subintervalos

Simpson aproxima la función por arcos cuadráticos sobre pares de subintervalos. Con n par y paso h=(b−a)/n, pondera extremos con 1, puntos impares con 4 y pares interiores con 2, todo multiplicado por h/3.

Exactitud y error

Simpson integra exactamente polinomios hasta grado tres bajo aritmética ideal. Para funciones suaves más complejas, aumentar subintervalos suele reducir error. La coincidencia con F(b)−F(a) verifica implementación, pero dos métodos numéricos no sustituyen una prueba de dominio.

Discontinuidades

Una suma de muestras puede saltar una singularidad o devolver valores enormes. No integres A/x cruzando cero. Para integrales impropias se toma un límite y se analiza convergencia por cada lado; el valor principal de Cauchy es otro concepto y no equivale automáticamente a la integral.

Integrales por partes y sustitución

Funciones fuera del selector pueden requerir sustitución, integración por partes, fracciones parciales o métodos numéricos. ∫x eˣdx usa partes; ∫2x cos(x²)dx usa sustitución; una racional propia puede descomponerse. No fuerces coeficientes en una familia que no corresponde.

Para comunicar, incluye integrando, variable, límites, unidad y método. “Área=12” puede ser ambiguo: una integral neta puede ser negativa y una acumulación no siempre es área física. Especifica si calculaste integral firmada o área total.

Ejemplo de área total

Para f(x)=x−1 en [0,3], una antiderivada es x²/2−x. La integral neta es F(3)−F(0)=1.5. Pero la función es negativa de 0 a 1 y positiva de 1 a 3. El área total es |∫0¹(x−1)dx|+|∫1³(x−1)dx|=0.5+2=2.5. La palabra “área” exige decidir si se usa signo.

Valor promedio de una función

En [a,b], el promedio es (1/(b−a))∫aᵇf(x)dx cuando b>a. No es necesariamente [f(a)+f(b)]/2, salvo familias particulares como una recta. Si f es temperatura a lo largo del día, el promedio integral pondera todo el intervalo, no solo extremos.

Acumulación como función

G(x)=∫aˣf(t)dt registra acumulación hasta x. El teorema fundamental afirma G′(x)=f(x) cuando f es continua. Así la tasa original es la derivada de la cantidad acumulada. Cambiar la letra a t evita confundir la variable interna con el límite superior.

Integración por sustitución

En ∫2x(x²+1)⁵dx, define u=x²+1 y du=2x dx. Queda ∫u⁵du=u⁶/6+C=(x²+1)⁶/6+C. La sustitución es la regla de cadena en sentido inverso. Debe transformarse tanto el integrando como el diferencial y, en definida, también los límites o volver a x.

Integración por partes

La identidad ∫u dv=uv−∫v du proviene de la regla del producto. Para ∫x eˣdx, elige u=x y dv=eˣdx: xeˣ−∫eˣdx=eˣ(x−1)+C. Esta técnica no está en el selector parametrizado y debe aplicarse de forma simbólica.