Un polinomio es una suma finita de potencias enteras no negativas

P(x)=x³−3x²+4 tiene coeficientes 1, −3, 0 y 4. El cero es esencial: reserva el término x que falta. La lista “1,−3,4” representaría x²−3x+4, otro polinomio. Esta calculadora solicita coeficientes desde el grado mayor hasta el término constante.

Grado y coeficiente principal

El grado es el exponente más alto con coeficiente no nulo. En 0x⁴+2x²−1, el grado real es 2 tras eliminar el cero inicial. El coeficiente principal es 2. El polinomio cero no tiene un grado ordinario definido; la interfaz lo identifica de manera especial.

Términos semejantes

Solo se combinan términos de la misma potencia. 3x²+5x²=8x², pero 3x²+5x no se reduce. Alinear coeficientes por grado es el equivalente numérico de alinear términos semejantes y previene que un término ausente desplace los demás.

Los exponentes negativos o fraccionarios crean otras familias de funciones. x⁻¹+1 es una expresión racional y √x+1 no es polinomio en x. El módulo no interpreta expresiones; opera listas de coeficientes polinómicos.

Suma, resta y multiplicación

Alinear antes de sumar

Para P=x³−3x²+4 y Q=x−1, escribe Q como 0x³+0x²+x−1. Entonces P+Q=x³−3x²+x+3. La resta P−Q=x³−3x²−x+5. Distribuye el signo menos a todos los coeficientes de Q.

Producto distributivo

Cada término de P multiplica cada término de Q; después se combinan exponentes iguales. Los coeficientes se calculan mediante convolución. Para (x²+2x+3)(x−1), el resultado es x³+x²+x−3. El grado esperado es la suma de grados si ambos polinomios no son cero.

Comprobaciones rápidas

El término constante del producto debe ser el producto de constantes. El coeficiente principal también se multiplica. Evaluar en x=1 da otra prueba: (PQ)(1)=P(1)Q(1). Estas verificaciones no reemplazan cada término, pero localizan errores de signo o alineación.

División larga de polinomios

La división busca P(x)=D(x)Q(x)+R(x), donde el grado de R es menor que el grado de D. Divide el término principal del dividendo entre el del divisor, multiplica el divisor por ese término, resta y repite.

Ejemplo con residuo

Divide x³−3x²+0x+4 entre x−1. Primero x³/x=x². Resta x³−x² y queda −2x²+0x+4. Después −2x²/x=−2x; resta −2x²+2x y queda −2x+4. Finalmente −2x/x=−2; resta −2x+2 y queda 2. El cociente es x²−2x−2 y el residuo 2.

Teorema del residuo

Al dividir P(x) entre x−a, el residuo es P(a). En el ejemplo, P(1)=1−3+4=2, igual al residuo. Si P(a)=0, x−a es factor. Esta conexión convierte la evaluación en prueba de factores y raíces.

Divisor de mayor grado

Si el grado de P es menor que el de D, el cociente es cero y el residuo es P. No es un error: ya cumple que el residuo tenga menor grado. Dividir entre el polinomio cero no está definido y se rechaza.

Evaluación eficiente y derivada por coeficientes

Método de Horner

Para evaluar aₙxⁿ+…+a₀, Horner acumula desde el coeficiente principal: multiplica el acumulado por x y suma el siguiente coeficiente. Para P=x³−3x²+4 en x=2: inicia 1; 1×2−3=−1; −1×2+0=−2; −2×2+4=0. Así P(2)=0 y x−2 es factor.

Derivar coeficientes

La regla de potencia convierte aₖxᵏ en k aₖxᵏ⁻¹. P′ para x³−3x²+4 es 3x²−6x. El término constante desaparece. Esta función breve es útil para comprobar la estructura, aunque una calculadora de derivadas completa debe manejar productos, cocientes, cadenas y funciones no polinómicas.

Evaluación y unidad

Si x tiene unidad, los coeficientes deben tener unidades que hagan compatibles los términos. En un modelo de costo en pesos, P(x) puede producir MXN aunque cada coeficiente tenga una unidad distinta respecto a x. No sumes magnitudes dimensionalmente incompatibles solo porque comparten una potencia formal.

Evaluar cerca de raíces múltiples o con coeficientes muy grandes puede ser sensible al redondeo. El navegador usa punto flotante. Para coeficientes enteros pequeños, las operaciones suelen ser claras; para álgebra exacta con fracciones o grados altos, conviene software simbólico.

Raíces, factores y representación

De una raíz a un factor

Si P(r)=0, entonces x−r divide exactamente a P. La división sintética es una versión compacta de la división por x−r. Repetir permite reducir el grado. El teorema de la raíz racional propone candidatos p/q a partir de divisores del término constante y del coeficiente principal.

Multiplicidad

Si (x−r)ᵐ divide a P, r tiene multiplicidad m. Una raíz de multiplicidad par suele tocar el eje x; una impar lo cruza. P y P′ comparten una raíz cuando P tiene un factor repetido. El máximo común divisor polinómico puede detectar esa repetición.

Orden y ceros internos

Conserva ceros para grados ausentes. P=2x⁴−7 necesita 2,0,0,0,−7. El formateador puede ocultar términos cero en la salida, pero la entrada debe mantener posiciones. Ceros iniciales se recortan porque no cambian el polinomio.

Una respuesta bien comunicada incluye operación, polinomios originales, cociente y residuo cuando corresponde, y precisión. En división, comprueba en un valor sencillo como x=2: P(2) debe igualar Q(2)D(2)+R(2). La página presenta esa identidad numérica como auditoría.

Ejemplo de multiplicación por coeficientes

Multiplica P=2x²−x+3 por Q=x²+4. Las listas son [2,−1,3] y [1,0,4]. El coeficiente de x⁴ es 2×1=2. El de x³ es −1×1+2×0=−1. El de x² recibe 3×1+2×4=11. El de x es −1×4=−4 y la constante 3×4=12. El producto es 2x⁴−x³+11x²−4x+12.

Evalúa en x=1: P(1)=4, Q(1)=5 y su producto es 20. El polinomio obtenido en 1 da 2−1+11−4+12=20. Esta comprobación no prueba todos los coeficientes por sí sola, pero detecta muchas omisiones; combina con grado y término constante.

División sintética y sus límites

La división sintética abrevia el caso D=x−a usando solo coeficientes. Baja el principal, multiplica por a, suma el siguiente y repite. Para divisores cuadráticos o con coeficiente principal diferente de uno, la división larga general es más transparente. No uses la tabla sintética estándar con cualquier divisor sin ajustar el método.

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si todos sus coeficientes correspondientes coinciden, no solo si toman el mismo valor en un punto. Coincidir en suficientes puntos puede implicar igualdad según el grado, pero una sola evaluación no basta: x y x² coinciden en 0 y 1, aunque son funciones diferentes.

Contenido y parte primitiva

Para coeficientes enteros, el contenido es el MCD de los coeficientes. 6x²−9x+3=3(2x²−3x+1). La parte entre paréntesis es primitiva y todavía factoriza como (2x−1)(x−1). Extraer el contenido primero reduce números y hace visibles los patrones restantes.