Qué significa descomponer una fracción racional

Una fracción racional es P(x)/Q(x), donde P y Q son polinomios. La descomposición en fracciones parciales reescribe una fracción propia como suma de términos con denominadores más simples. No cambia la función: crea una identidad válida en todos los puntos donde el denominador original está definido.

Fracción propia

El grado de P debe ser menor que el grado de Q. Si no ocurre, primero se hace división polinómica y después se descompone el residuo. Esta calculadora recibe numeradores lineales para denominadores de grado dos y numeradores cuadráticos para grado tres.

Denominador factorizado

Las raíces se capturan de forma explícita. Así se evita confundir x+2 con raíz positiva dos: x+2=x−(−2), por lo que la raíz es −2.

Dominio

Las raíces quedan excluidas tanto de la forma original como de la descompuesta, aunque una simplificación accidental parezca cancelar algo.

Dos factores lineales distintos

Para P(x)/[(x−r₁)(x−r₂)] se busca A/(x−r₁)+B/(x−r₂). Al multiplicar por el denominador común aparece P(x)=A(x−r₂)+B(x−r₁). Sustituir x=r₁ elimina el término de B; sustituir x=r₂ elimina el de A.

Fórmulas directas

A=P(r₁)/(r₁−r₂) y B=P(r₂)/(r₂−r₁). Funcionan porque las raíces son distintas. Si coinciden, ambos denominadores de estas fórmulas son cero y corresponde la estructura repetida.

Reconstrucción

El coeficiente de x debe cumplir A+B igual al coeficiente lineal del numerador. El término constante debe cumplir −Ar₂−Br₁ igual al término independiente.

Signos

La mayor fuente de errores manuales es perder el signo negativo al evaluar una raíz o expandir x−r. Conviene conservar los paréntesis hasta la última línea.

Factor lineal repetido

Cuando Q(x)=(x−r)² no basta una sola fracción. La forma completa es A/(x−r)+B/(x−r)². Al unificar, P(x)=A(x−r)+B. Para P(x)=n₁x+n₀ se obtiene A=n₁ y B=P(r)=n₁r+n₀.

Por qué se incluyen ambas potencias

Un factor de multiplicidad dos requiere términos para las potencias uno y dos. Omitir A/(x−r) impide reproducir el coeficiente lineal; omitir B/(x−r)² impide reproducir en general el valor P(r).

Raíz repetida no son dos raíces cercanas

La estructura algebraica cambia exactamente cuando coinciden. Aproximar una raíz doble por r±ε produce coeficientes grandes que se cancelan y puede causar pérdida numérica.

Integración

La integral de A/(x−r) es A ln|x−r|; la de B/(x−r)² es −B/(x−r). La constante de integración se agrega al final.

Tres factores lineales distintos

Para un denominador cúbico factorizado en tres raíces diferentes, la forma es A/(x−r₁)+B/(x−r₂)+C/(x−r₃). Cada coeficiente se obtiene como P(rᵢ) dividido entre el producto de las diferencias de esa raíz con las otras dos.

Residuo en una raíz

A=P(r₁)/[(r₁−r₂)(r₁−r₃)]. Las expresiones de B y C cambian los índices del mismo modo. Este procedimiento es la versión de cobertura para factores lineales simples.

Numerador permitido

P puede tener grado hasta dos. Si el coeficiente cuadrático es cero, sigue siendo un caso válido. Si tuviera grado tres o más, se necesita división antes.

Raíces próximas

Diferencias pequeñas hacen crecer coeficientes individuales. La suma todavía puede representar una función moderada, pero el redondeo decimal empeora; conserva precisión.

Método de cobertura y comparación de coeficientes

La sustitución en raíces es rápida, pero no es magia. Proviene de multiplicar la identidad por Q(x). Después de obtener A, B y C, expandir ambos lados ofrece una comprobación independiente. También puede plantearse un sistema lineal con los coeficientes de cada potencia de x.

Cuándo usar el sistema

Con factores cuadráticos irreducibles, el numerador parcial debe ser lineal y la cobertura simple ya no determina todos los coeficientes. Comparar potencias o resolver el sistema resulta más general.

Factores irreducibles

Una forma como x²+1 no tiene raíces reales lineales. En una descomposición real aparece (Ax+B)/(x²+1). Esta versión de la herramienta no intenta ese caso y lo declara para evitar una respuesta incompleta.

Identidad, no aproximación

Con entradas exactas, las fórmulas son exactas. Los decimales mostrados son aproximaciones de los coeficientes y por eso la prueba numérica puede dejar una diferencia diminuta.

Cómo funciona la verificación numérica

La página evalúa la fracción original y la suma parcial en un punto elegido que no sea raíz. Luego informa el valor absoluto de su diferencia. Una cifra cercana a cero apoya la reconstrucción, pero una sola prueba no demuestra por sí sola una identidad polinómica.

Elegir el punto

No uses r₁, r₂ o r₃ porque ambas expresiones tienen división entre cero. Un punto muy cercano a una raíz magnifica redondeo. Cero suele ser cómodo si no es raíz.

Escala del error

La barra compara la diferencia con una tolerancia numérica relativa. No transforma una estructura incorrecta en correcta; la validación principal sigue siendo la reconstrucción algebraica.

Prueba adicional

Evalúa en dos o tres puntos y compara coeficientes. Si debes entregar un procedimiento, muestra la identidad multiplicada por Q(x), no solo una captura del decimal.

Aplicación a integrales

Las fracciones parciales convierten una integral racional compleja en sumas conocidas. Cada A/(x−r) produce un logaritmo. En el factor repetido, B/(x−r)² produce un término racional. Al integrar una identidad, respeta intervalos que no crucen las raíces.

Valor absoluto

La integral de 1/(x−r) es ln|x−r|. Quitar el valor absoluto restringe indebidamente el dominio real.

Constante

Se agrega una sola constante C a la suma final. Escribir una constante por término es equivalente, pero todas se combinan.

Integrales definidas impropias

Si una raíz cae dentro del intervalo, la integral ordinaria es impropia y puede divergir. No basta evaluar antiderivadas a ambos lados como si el logaritmo fuera continuo.

Transformadas y ecuaciones

También aparecen al invertir transformadas de Laplace y resolver sistemas lineales. En esos usos, los factores pueden ser complejos o cuadráticos, fuera del alcance de esta interfaz básica.

Ejemplo con dos raíces

Usa P(x)=3x+5 y Q(x)=(x−1)(x+2), de modo que r₁=1 y r₂=−2. P(1)=8 y r₁−r₂=3, así que A=8/3. P(−2)=−1 y r₂−r₁=−3, por lo que B=1/3.

Identidad

(3x+5)/[(x−1)(x+2)]=(8/3)/(x−1)+(1/3)/(x+2). Al reunir el lado derecho, el numerador es (8/3)(x+2)+(1/3)(x−1)=3x+5.

Prueba en cero

La fracción original vale 5/[(-1)(2)]=−2.5. La suma vale (8/3)/(−1)+(1/3)/2=−8/3+1/6=−2.5.

Integral

En un intervalo que evite −2 y 1, una antiderivada es (8/3)ln|x−1|+(1/3)ln|x+2|+C.

Errores frecuentes y cómo evitarlos

El primero es no dividir cuando la fracción es impropia. El segundo es omitir potencias intermedias en un factor repetido. El tercero es tratar una cuadrática irreducible como si tuviera factores lineales reales. El cuarto es usar raíces con signo equivocado.

Redondear demasiado pronto

Si A=8/3, conservar la fracción evita que 2.67 genere una reconstrucción falsa. La calculadora conserva precisión interna, aunque muestra decimales legibles.

Cancelar factores

Si P y Q comparten factor, simplifica con cuidado y registra la exclusión original del dominio. Una discontinuidad removible no se reincorpora solo por cancelar escritura.

Copiar sin revisar

Comprueba multiplicando por el denominador común. Esa línea suele detectar cualquier signo mal puesto en menos tiempo que repetir toda la descomposición.

Uso académico y alcance

En cursos de álgebra, cálculo o ecuaciones diferenciales en México, la notación puede variar, pero la identidad es la misma. Algunas clases nombran los coeficientes A, B y C; otras usan constantes distintas. Lo importante es asociar cada constante con su factor.

Calculadora con procedimiento

El resultado muestra la fórmula de sustitución y la prueba, no únicamente los números. Reescribe esos pasos con tus datos para demostrar comprensión.

Exactitud

Las entradas decimales se interpretan como números de punto flotante. Para trabajo simbólico exacto con fracciones grandes o polinomios generales, usa un sistema algebraico y verifica su salida.

Privacidad

Todo el cálculo ocurre en el navegador y no necesita nombres ni datos personales. Los coeficientes no se envían a una institución.