Factorizar es reescribir un objeto como producto

En aritmética, 60=2²×3×5 descompone un entero en primos. En álgebra, x²−5x+6=(x−2)(x−3) descompone un polinomio. En ambos casos, multiplicar los factores reconstruye el objeto original. Sin embargo, los métodos y el dominio de factores son distintos; esta página los separa en dos modos.

Factor no es término

En 3x+6, los términos son 3x y 6; el factor común es 3 y la expresión se factoriza como 3(x+2). Una suma no puede cancelarse como si cada término fuera factor. En (x+2)(x−1), cada paréntesis sí es un factor porque participa en una multiplicación completa.

Por qué sirve factorizar

Los factores revelan divisibilidad, simplifican fracciones, resuelven ecuaciones mediante producto cero y muestran ceros de una función. También ayudan a hallar MCD y MCM. La forma expandida facilita sumar coeficientes; la factorizada facilita estudiar raíces. Elegir una u otra depende de la operación siguiente.

La factorización depende del conjunto numérico. x²+1 es irreducible sobre los reales, pero sobre los complejos es (x−i)(x+i). x²−2 no tiene factores lineales con coeficientes racionales, aunque sobre los reales es (x−√2)(x+√2). “No factoriza” debe incluir el dominio.

Factorización prima de enteros

Divisiones sucesivas

Empieza con el primo más pequeño. Si el entero es par, divide entre 2 hasta que deje de serlo; continúa con 3, 5, 7 y primos posteriores. Para 7,560: divide tres veces entre 2, tres veces entre 3, una vez entre 5 y una vez entre 7. El producto es 2³×3³×5×7.

Cuándo detener la búsqueda

Si el divisor candidato supera la raíz cuadrada del residuo, el residuo mayor que uno es primo. No hace falta probar hasta el propio número. Si 97 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7, y √97 es menor que 10, se concluye que 97 es primo.

Signo, cero y uno

Un entero negativo incluye el factor −1 y después los factores de su magnitud: −60=−1×2²×3×5. Uno no tiene factorización prima; es la unidad multiplicativa. Cero es divisible entre cualquier entero no nulo y no tiene una descomposición prima única, por lo que el módulo lo rechaza.

Antes del trinomio: extraer factor común

Busca el MCD de los coeficientes y la menor potencia de cada variable presente en todos los términos. En 6x³−9x², el MCD numérico es 3 y la potencia común es x², así que queda 3x²(2x−3). Multiplica de vuelta para comprobar.

Factor común por agrupación

En ax+ay+bx+by, agrupa a(x+y)+b(x+y) y extrae el binomio común: (a+b)(x+y). La agrupación es útil en polinomios de cuatro términos cuando dos pares comparten estructura. Si los binomios no coinciden, prueba otro orden o reconoce que el patrón no aplica.

Diferencia de cuadrados

A²−B²=(A−B)(A+B). Por ejemplo, 9x²−25=(3x−5)(3x+5). La suma A²+B² no usa esta identidad sobre los reales. Verifica multiplicando: los términos cruzados −AB y +AB se cancelan.

Cubos

A³−B³=(A−B)(A²+AB+B²) y A³+B³=(A+B)(A²−AB+B²). El signo central del trinomio es opuesto al del binomio en la suma de cubos. Estas identidades no deben confundirse con (A±B)³, que incluye coeficientes 3.

Factorizar ax²+bx+c

Trinomio mónico

Si a=1, busca números p y q tales que p+q=b y pq=c. Entonces x²+bx+c=(x+p)(x+q). Para x²−5x+6, p=−2 y q=−3. Suman −5 y multiplican 6, por eso los factores son (x−2)(x−3).

Cuando a no es uno

Para 6x²+11x+3, busca dos números cuyo producto sea ac=18 y suma 11: 9 y 2. Separa el término central: 6x²+9x+2x+3. Agrupa 3x(2x+3)+1(2x+3)=(3x+1)(2x+3). La comprobación recupera 6x²+11x+3.

Usar raíces

Si las raíces son r₁ y r₂, el polinomio es a(x−r₁)(x−r₂). Para coeficientes enteros, raíces racionales permiten factores lineales racionales. El módulo calcula el discriminante y acepta la forma lineal cuando las raíces pueden expresarse de manera estable como números reales; si no son racionales dentro de tolerancia, informa la factorización real aproximada o irreducibilidad racional.

Una raíz doble genera un factor repetido. x²−6x+9=(x−3)². La multiplicidad importa en la gráfica: la parábola toca el eje sin cruzarlo. Si el discriminante es negativo, un cuadrático real no tiene factores lineales reales.

Comprobar y usar la forma factorizada

Multiplicación inversa

Expande los factores con la propiedad distributiva. (x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq. Compara los tres coeficientes, no solo el término constante. Un par puede tener producto correcto y suma equivocada.

Propiedad del producto cero

Si UV=0, entonces U=0 o V=0. De (x−2)(x−3)=0 se obtienen x=2 o x=3. Esta propiedad requiere que el producto sea igual a cero; no puede aplicarse directamente a (x−2)(x−3)=5.

Simplificar fracciones con condiciones

(x²−9)/(x−3)=[(x−3)(x+3)]/(x−3)=x+3, pero la expresión original excluye x=3. Cancelar el factor no restablece ese valor. Anota restricciones antes de simplificar denominadores.

Para enteros grandes, la prueba por divisores puede tardar. El módulo está pensado para magnitudes ordinarias dentro del rango seguro del navegador, no para criptografía. Para polinomios de grado mayor, se necesitan teorema de la raíz racional, división sintética, algoritmos numéricos o álgebra computacional.

Errores frecuentes

No factorices una suma término por término, no olvides el factor −1 si conviene cambiar signos y no declares primo un residuo sin probar hasta su raíz. En trinomios, verifica suma y producto. En fracciones, conserva el dominio. La multiplicación de regreso es la prueba universal.

Ejemplo completo con coeficiente principal distinto de uno

Factoriza 12x²−11x−5. El producto ac es −60. Dos enteros que multiplican −60 y suman −11 son −15 y 4. Separa el término central: 12x²−15x+4x−5. Agrupa 3x(4x−5)+1(4x−5) y obtén (3x+1)(4x−5). La multiplicación devuelve 12x²−15x+4x−5=12x²−11x−5.

Las raíces correspondientes son −1/3 y 5/4. Su suma es 11/12, igual a −b/a=11/12, y su producto es −5/12=c/a. Usar factorización, raíces y relaciones de Viète ofrece tres comprobaciones distintas. Si una no coincide, revisa primero los signos elegidos al separar b.

Factorización para MCD y MCM

Con 72=2³×3² y 120=2³×3×5, el MCD toma exponentes mínimos compartidos: 2³×3=24. El MCM toma máximos: 2³×3²×5=360. La descomposición prima convierte una búsqueda de divisores en una comparación de exponentes y permite simplificar fracciones como 72/120 a 3/5.

Cuándo detenerse en álgebra

Después de extraer un factor común, inspecciona cada factor restante. 2x³−8x=2x(x²−4)=2x(x−2)(x+2). Detenerse en 2x(x²−4) es una factorización parcial. La forma completa depende del dominio y del objetivo: para resolver ceros reales, conviene llegar a factores lineales reales cuando sea posible.