Erwartungswert berechnen
Tragen Sie mögliche Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten ein. Der Rechner prüft die 100-Prozent-Summe und bestimmt Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Minimum, Maximum sowie die Wahrscheinlichkeit eines nicht negativen Ergebnisses – mit nachvollziehbaren Einzelbeiträgen.
Mögliche Ausgänge
Dezimalwerte dürfen mit Komma geschrieben werden. Verwenden Sie Semikola als Trenner. Die Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen 100 Prozent ergeben.
Verteilungsprofil
Was der Erwartungswert aussagt
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist ein mit Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert aller möglichen Werte. Er beschreibt den langfristigen Durchschnitt bei sehr vielen Wiederholungen unter unveränderten Bedingungen. Er muss selbst kein möglicher Einzelwert sein. Bei einem fairen Würfel beträgt der Erwartungswert 3,5, obwohl keine Seite 3,5 Augen zeigt.
Ein einzelner Versuch liegt häufig weit vom Erwartungswert entfernt. Auch nach zehn Wiederholungen kann der Durchschnitt noch schwanken. Erst das Gesetz der großen Zahlen beschreibt die Annäherung unter geeigneten Voraussetzungen. Es verspricht keine gleichmäßige Reihenfolge und keine kurzfristige „Korrektur“ nach einer Serie.
Der Rechner arbeitet mit einer vollständig angegebenen endlichen Verteilung. Unbekannte oder nicht aufgelistete Ausgänge machen die Zahl unvollständig.
Formel für diskrete Ausgänge
Jeder mögliche Wert xᵢ wird mit seiner Wahrscheinlichkeit pᵢ multipliziert. Danach werden alle Produkte addiert. Wahrscheinlichkeiten müssen als Dezimalzahlen zwischen null und eins eingesetzt werden; 20 Prozent werden zu 0,20.
Im Beispiel tragen −10 mit 20 Prozent den Beitrag −2 bei, null mit 30 Prozent den Beitrag null, 20 mit 40 Prozent den Beitrag 8 und 50 mit 10 Prozent den Beitrag 5. Die Summe lautet 11. Die Ergebnisbox zeigt diese Einzelbeiträge, damit Vorzeichen- und Prozentfehler sichtbar werden.
Wer Wahrscheinlichkeiten als 20 statt 0,20 in die Formel einsetzt, erhält ein hundertfach zu großes Ergebnis. Das Modul teilt Prozentangaben automatisch durch 100.
Wahrscheinlichkeitssumme prüfen
Eine vollständige Verteilung muss insgesamt 100 Prozent ergeben. Liegt die Summe darunter, fehlt Wahrscheinlichkeit; liegt sie darüber, überschneiden sich Kategorien oder Werte wurden doppelt gezählt. Der Rechner toleriert nur eine kleine Rundungsabweichung von 0,01 Prozentpunkten.
Gerundete Wahrscheinlichkeiten können beispielsweise 99,99 oder 100,01 Prozent ergeben. Passen Sie eine Kategorie nachvollziehbar an oder verwenden Sie genauere Werte. Eine automatische Normalisierung würde verdecken, ob die Eingabe tatsächlich vollständig ist. Deshalb weist das Modul die Summe zurück, statt sie still auf 100 zu skalieren.
Jede Wahrscheinlichkeit muss zwischen null und 100 Prozent liegen. Ein negativer Wert oder 130 Prozent kann keine Einzelwahrscheinlichkeit sein.
Varianz misst quadratische Streuung
Der Erwartungswert allein unterscheidet keine sichere und riskante Verteilung. Zwei Spiele können beide einen Erwartungswert von 10 haben, obwohl eines immer 10 auszahlt und das andere zwischen −100 und 120 schwankt. Die Varianz gewichtet die quadrierte Entfernung jedes Ausgangs vom Erwartungswert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
Durch das Quadrieren zählen positive und negative Abweichungen beide positiv, und große Abstände werden stark betont. Die Einheit der Varianz ist das Quadrat der ursprünglichen Einheit. Bei Euroausgängen entsteht Euro², was schwer anschaulich ist.
Die hier berechnete Varianz gehört zur angegebenen theoretischen Verteilung. Eine Stichprobenvarianz aus beobachteten Daten verwendet je nach Ziel eine andere Formel.
Standardabweichung in ursprünglicher Einheit
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Dadurch besitzt sie wieder dieselbe Einheit wie die Ausgangswerte. Im Beispiel ist die Varianz 349 und die Standardabweichung ungefähr 18,68. Sie beschreibt eine typische quadratische Distanz zum Erwartungswert, aber keine garantierte Bandbreite.
Nur bei bestimmten Verteilungen, insbesondere näherungsweise normalverteilten Größen, lassen sich bekannte 68- oder 95-Prozent-Regeln sinnvoll anwenden. Eine diskrete, schiefe oder mehrgipflige Verteilung kann ganz anders aussehen. Minimum, Maximum und Einzelwahrscheinlichkeiten bleiben deshalb wichtig.
Eine größere Standardabweichung bedeutet mehr Streuung in derselben Einheit. Vergleiche zwischen sehr unterschiedlich skalierten Größen können einen relativen Streuungsmaßstab erfordern.
Erwartungswert bei Spielen und Entscheidungen
Bei einem Spiel können Werte Nettogewinne einschließlich Einsatz sein. Wenn ein Los 5 Euro kostet und entweder 0 oder 20 Euro auszahlt, sollten die Werte −5 und +15 lauten, nicht 0 und 20, wenn der Nettogewinn untersucht wird. Eine unklare Bezugsgröße verändert den Erwartungswert.
Ein positiver Erwartungswert macht einen einzelnen Einsatz nicht sicher. Liquiditätsrisiko, maximale Verlustserie, Teilnahmegrenzen, Gebühren, Steuern und Nutzen des Geldes können gegen eine Teilnahme sprechen. Bei Glücksspiel ist außerdem zu beachten, dass Angebote typischerweise einen negativen Spielerwartungswert besitzen und Suchtgefahren bestehen.
Für Entscheidungen mit einmaligen, nicht wiederholbaren Folgen ist ein langfristiger Mittelwert nur ein Baustein. Risikoaversion und irreversible Schäden dürfen nicht in einer Durchschnittszahl verschwinden.
Erwartungswert bei Kosten und Projekten
Unternehmen können Szenarien wie niedrige, mittlere und hohe Kosten mit Wahrscheinlichkeiten gewichten. Ein Projekt mit 20 Prozent Wahrscheinlichkeit für 100.000 Euro Mehrkosten trägt 20.000 Euro zum erwarteten Mehrkostenwert bei. Das ist kein Budget, das garantiert genügt, sondern ein Portfolio- oder Planungswert.
Wahrscheinlichkeiten dürfen nicht nur nach Gefühl vergeben werden, wenn belastbare Daten verfügbar sind. Abhängigkeiten zwischen Risiken sind besonders wichtig. Zwei Risiken mit je 10 Prozent können gleichzeitig wahrscheinlicher auftreten, wenn sie dieselbe Ursache haben. Eine einfache Liste behandelt jeden Gesamtausgang als eigene Kategorie; kombinierte Szenarien müssen vollständig formuliert sein.
Ein Entscheidungsbaum kann mehrere Stufen abbilden. Der Rechner verarbeitet dagegen nur die Endausgänge und ihre Gesamtwahrscheinlichkeiten.
Bedingter Erwartungswert
Wenn neue Information bekannt wird, ändern sich Wahrscheinlichkeiten. Der Erwartungswert unter einer Bedingung wird mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnet. Beispielsweise kann die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Maschine nach einem Warnsignal höher sein als im allgemeinen Jahresmittel.
Tragen Sie für einen bedingten Fall eine neue, wieder auf 100 Prozent normierte Verteilung ein. Mischen Sie nicht unbedingte und bedingte Wahrscheinlichkeiten in derselben Liste. Die Wahrscheinlichkeit eines Signals und die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls gegeben das Signal sind unterschiedliche Größen.
Der Satz der totalen Erwartung kann Teilgruppen wieder zusammenführen: Der gesamte Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert der bedingten Erwartungswerte. Dafür werden die Gruppenwahrscheinlichkeiten benötigt.
Häufigkeitsdaten in Wahrscheinlichkeiten umwandeln
Aus beobachteten Häufigkeiten können empirische Wahrscheinlichkeiten geschätzt werden. Trat ein Ausgang 25-mal in 100 vergleichbaren Beobachtungen auf, beträgt die relative Häufigkeit 25 Prozent. Kleine Stichproben sind unsicher und vergangene Häufigkeiten gelten nur bei ausreichend stabilen Bedingungen.
Wenn Sie statt Prozenten Fallzahlen haben, teilen Sie jede Anzahl durch die Gesamtsumme und multiplizieren mit 100. Prüfen Sie, ob Beobachtungen unabhängig, Kategorien vollständig und Messungen vergleichbar sind. Auswahlverzerrung oder fehlende Fälle können den Erwartungswert stärker verfälschen als Rundung.
Bei kontinuierlichen Größen werden Dichtefunktionen und Integrale verwendet. Eine grobe Einteilung in Klassen kann annähern, verliert aber Information innerhalb der Intervalle.
Beispielverteilung lesen
| Ausgang x | Wahrscheinlichkeit | Beitrag x·p | Abstand zu E(X)=11 |
|---|---|---|---|
| −10 | 20 % | −2 | −21 |
| 0 | 30 % | 0 | −11 |
| 20 | 40 % | 8 | 9 |
| 50 | 10 % | 5 | 39 |
Der Erwartungswert 11 liegt zwischen Minimum und Maximum, ist aber selbst kein möglicher Ausgang. Die Wahrscheinlichkeit für ein nicht negatives Ergebnis beträgt 80 Prozent, weil die Kategorien 0, 20 und 50 zusammen so viel Gewicht besitzen. „Nicht negativ“ umfasst null.
Eine 80-prozentige Nichtverlustchance bedeutet nicht, dass der Erwartungswert positiv sein muss; sehr große seltene Verluste könnten ihn negativ machen.
Eingaben und Rundung dokumentieren
Notieren Sie Quelle, Bezugszeitraum und Definition jedes Ausgangs. Bei Geldwerten muss klar sein, ob Kosten, Gebühren, Steuern und Inflation enthalten sind. Bei Zeitwerten muss die Einheit eindeutig sein. Wahrscheinlichkeiten sollten auf denselben Informationsstand und dieselbe Grundgesamtheit verweisen.
Der Rechner zeigt vier Nachkommastellen für statistische Größen. Diese Genauigkeit ist rein numerisch. Wenn Wahrscheinlichkeiten nur grob geschätzt sind, ist ein Ergebnis wie 11,0000 nicht auf vier Stellen belastbar. Führen Sie Sensitivitätsrechnungen mit plausiblen niedrigeren und höheren Wahrscheinlichkeiten durch.
Entscheidungshinweis: Ein Erwartungswert ist kein Versprechen und keine vollständige Risikoanalyse. Bei finanziellen, medizinischen oder sicherheitskritischen Entscheidungen müssen Folgen, Abhängigkeiten und Unsicherheit fachlich bewertet werden.
Linearität des Erwartungswerts
Für Zufallsvariablen X und Y gilt E(X + Y) = E(X) + E(Y). Diese Linearität benötigt keine Unabhängigkeit. Auch bei abhängigen Teilkosten kann der erwartete Gesamtbetrag aus den einzelnen Erwartungswerten addiert werden, sofern alle Größen korrekt definiert und endlich sind. Für Varianzen gilt diese einfache Addition dagegen nur bei Unabhängigkeit oder wenn Kovarianzen berücksichtigt werden.
Konstanten lassen sich aus dem Erwartungswert ziehen: E(aX + b) = aE(X) + b. Eine feste Gebühr von 3 Euro senkt einen Nettogewinn-Erwartungswert um 3; eine Verdopplung jedes Ausgangs verdoppelt den Erwartungswert. Die Standardabweichung reagiert auf eine Verschiebung um b nicht, auf einen Faktor a aber mit dem Betrag von a.
Diese Regeln helfen, komplexe Modelle zu kontrollieren. Sie ersetzen nicht die vollständige Beschreibung der Verteilung, wenn Risiko oder Grenzwahrscheinlichkeiten gefragt sind.
Unabhängigkeit und wiederholte Versuche
Bei n unabhängigen, identisch verteilten Wiederholungen ist der Erwartungswert der Summe n mal E(X). Die Varianz der Summe ist n mal Var(X), die Standardabweichung wächst nur mit √n. Der Durchschnitt aus n Wiederholungen behält den Erwartungswert E(X), während seine Standardabweichung durch √n geteilt wird.
Unabhängigkeit darf nicht nur angenommen werden, weil Ereignisse an verschiedenen Tagen auftreten. Marktbewegungen, Wetterlagen, Maschinenausfälle oder menschliche Entscheidungen können gemeinsame Ursachen besitzen. Abhängigkeit verändert besonders die Streuung und die Wahrscheinlichkeit extremer Gesamtergebnisse.
Der Rechner wertet eine Ein-Versuch-Verteilung aus. Für Wiederholungen können die Formeln als Planung dienen, aber eine vollständige Summenverteilung benötigt Faltung, Simulation oder ein passendes analytisches Modell.
Simulation als Plausibilitätsprüfung
Eine Monte-Carlo-Simulation zieht viele Zufallsausgänge gemäß den eingegebenen Wahrscheinlichkeiten und bildet den Stichprobendurchschnitt. Mit wachsender Zahl sollte er um den theoretischen Erwartungswert schwanken und sich typischerweise annähern. Einzelne Läufe liefern unterschiedliche Ergebnisse; eine Simulation ersetzt die exakte Summe nicht, wenn die Verteilung bereits bekannt ist.
Sie ist nützlich, wenn ein Modell aus mehreren Stufen, Abhängigkeiten oder kontinuierlichen Größen besteht. Dann müssen Zufallszahlengenerator, Anzahl Durchläufe, Korrelationen und Reproduzierbarkeit dokumentiert werden. Ein hübsches Histogramm kann falsche Annahmen nicht korrigieren.
Häufige Fragen zum Erwartungswert
Wie berechne ich den Erwartungswert?
Multiplizieren Sie jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl und addieren Sie alle Produkte.
Muss der Erwartungswert möglich sein?
Nein. Er kann zwischen diskreten Ausgängen liegen, wie 3,5 beim fairen Würfel.
Warum müssen Wahrscheinlichkeiten 100 Prozent ergeben?
Weil die Liste alle gegenseitig ausschließenden möglichen Ausgänge einer vollständigen Verteilung enthalten soll.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Varianz ist die gewichtete quadratische Abweichung; Standardabweichung ist ihre Wurzel und hat die ursprüngliche Einheit.
Ist ein positiver Erwartungswert ein sicherer Gewinn?
Nein. Einzelne Ergebnisse können negativ sein, und auch lange Verlustserien bleiben möglich.
Kann ich Häufigkeiten eingeben?
Wandeln Sie jede Häufigkeit zuerst durch Division mit der Gesamtsumme in eine Prozentwahrscheinlichkeit um.