Écart type, variance et moyenne

La variance donne plus de poids aux écarts importants parce qu’ils sont élevés au carré. Son unité est donc elle aussi au carré : une série en centimètres produit une variance en centimètres carrés. L’écart type revient à l’unité d’origine et se compare plus facilement à la moyenne ou à une tolérance.

Formule pour une population complète

Lorsque la liste contient tous les individus du groupe étudié, calculez la moyenne μ, soustrayez-la à chaque valeur, élevez chaque différence au carré, additionnez ces carrés puis divisez par n. La variance de population est notée σ² et son écart type σ.

σ² = Σ(xᵢ − μ)² / n ; σ = √σ².

Cette convention convient par exemple aux notes de tous les élèves d’une classe précise, aux temps de toutes les opérations d’une journée ou aux dimensions de toutes les pièces d’un lot déjà intégralement mesuré. Elle décrit ce groupe sans chercher à estimer une population plus large.

Formule pour un échantillon

Si les observations ne sont qu’un échantillon tiré d’une population plus vaste, la variance calculée autour de la moyenne de l’échantillon tend à sous-estimer la dispersion réelle. L’estimateur usuel corrige ce biais en divisant la somme des carrés par n − 1. On parle de variance d’échantillon s² et d’écart type s.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ; s = √s².

Le choix n’est pas dicté par la taille seule. Une série de dix valeurs peut constituer toute une petite population ; dix mille observations peuvent rester un échantillon. Demandez-vous quelle généralisation vous voulez faire.

Lire un écart type

Un écart type nul signifie que toutes les valeurs sont identiques. Plus il augmente, plus les observations s’éloignent en moyenne quadratique du centre. Il ne dit pas si la dispersion est souhaitable : une faible variabilité peut être un signe de maîtrise industrielle, tandis qu’une forte variabilité peut refléter une diversité normale.

Dans une distribution approximativement normale, l’écart type aide à décrire des zones autour de la moyenne, mais cette interprétation ne doit pas être appliquée automatiquement à une série asymétrique, multimodale ou comportant peu de valeurs. Examinez un histogramme ou au moins la série triée.

Coefficient de variation

Le coefficient de variation divise l’écart type par la valeur absolue de la moyenne et l’exprime en pourcentage. Il offre une dispersion relative, utile pour comparer deux séries positives dont les unités ou niveaux diffèrent. Un écart type de 5 n’a pas le même poids autour d’une moyenne de 10 que d’une moyenne de 1 000.

Lorsque la moyenne est nulle, le coefficient n’est pas calculable. Lorsqu’elle est très proche de zéro ou lorsque les valeurs peuvent être négatives, ce ratio devient instable ou trompeur. Le module l’affiche comme « non calculable » à moyenne nulle et laisse l’interprétation à l’utilisateur.

Influence des valeurs extrêmes

Le carré amplifie fortement un écart isolé. Une faute de saisie peut donc gonfler variance et écart type. Avant de supprimer une valeur, vérifiez pourtant si elle est erronée ou simplement rare. Une mesure réelle extrême fait partie du phénomène et son retrait doit avoir une justification méthodologique.

Comparez l’écart type à des indicateurs robustes comme la médiane et l’écart interquartile. Présentez aussi le minimum, le maximum et l’étendue. Une statistique unique ne révèle ni l’origine d’une valeur extrême ni la forme de la distribution.

Arrondir au bon moment

Conservez les valeurs originales et les calculs intermédiaires avec suffisamment de précision. Arrondir chaque écart ou carré peut accumuler une différence visible, surtout dans une longue série. Le module effectue les opérations avec les nombres saisis, puis limite l’affichage à huit décimales significatives lisibles.

L’écart type ne devrait pas paraître plus précis que les mesures. Si une balance lit au gramme près, dix décimales d’écart type ne décrivent pas une connaissance réelle. Choisissez un arrondi cohérent avec l’instrument et l’usage.

Données pondérées et fréquences

Cette page traite chaque nombre comme une observation de poids égal. Si une valeur représente plusieurs occurrences, répétez-la le nombre de fois correspondant seulement pour une petite série, ou utilisez une formule pondérée. Une moyenne pondérée et une variance pondérée demandent de préciser si les poids sont des fréquences, des probabilités ou des poids d’enquête.

Les enquêtes officielles utilisent souvent des pondérations, des plans de sondage et des corrections qui dépassent la simple division par n − 1. Ne reproduisez pas leur précision avec une liste non pondérée.

Écart type dans Excel et les logiciels

Les tableurs proposent plusieurs fonctions car ils distinguent population et échantillon. Avant de comparer deux résultats, identifiez la fonction appelée, le traitement des cellules vides, du texte et des erreurs. Une différence entre logiciels provient souvent du diviseur plutôt que d’un problème d’arithmétique.

Exportez avec le séparateur décimal et le séparateur de champ appropriés au paramétrage français. Ici, le point-virgule évite de confondre la virgule décimale avec une séparation de valeurs.

Effet d’un changement d’origine ou d’échelle

Ajouter la même constante à toutes les valeurs déplace la moyenne, mais ne change ni les écarts entre observations, ni la variance, ni l’écart type. Si une série de températures augmente artificiellement de 2 °C parce qu’un capteur est décalé, sa moyenne augmente de 2, mais sa dispersion reste identique. Cette propriété permet de comprendre pourquoi le centre et la variabilité décrivent deux aspects séparés.

Multiplier toutes les valeurs par un facteur k multiplie l’écart type par la valeur absolue de k et la variance par k². Convertir des mètres en centimètres multiplie les nombres par 100 : l’écart type est multiplié par 100, tandis que la variance est multipliée par 10 000. Une comparaison exige donc des unités cohérentes. Le coefficient de variation peut rester inchangé sous une multiplication positive, mais pas sous une simple translation qui modifie la moyenne sans modifier l’écart type.

Combiner deux groupes sans moyenner leurs écarts types

La moyenne de deux écarts types n’est généralement pas l’écart type du groupe réuni. Il faut connaître les effectifs, les moyennes et les dispersions de chaque groupe. Une différence entre les moyennes crée une dispersion supplémentaire dans l’ensemble, même si chaque groupe est très homogène. Par exemple, deux classes où tous les élèves ont respectivement 10 et 20 ont chacune un écart type nul, mais la série réunie varie fortement autour de 15.

La méthode la plus sûre consiste à réunir les observations brutes dans le module. Si elles ne sont plus disponibles, utilisez une formule de variance combinée qui ajoute la variation interne à chaque groupe et la variation de chaque moyenne de groupe autour de la moyenne globale. Précisez également si les variances sources ont été calculées comme populations ou échantillons : mélanger les diviseurs produit une synthèse incohérente.

Écart type et incertitude de la moyenne

L’écart type des observations ne doit pas être confondu avec l’erreur standard de la moyenne. Le premier décrit la variabilité des individus ; la seconde décrit la précision de la moyenne estimée et dépend de la taille de l’échantillon. Sous des hypothèses adaptées, elle est souvent calculée comme l’écart type d’échantillon divisé par la racine carrée de n.

Augmenter le nombre d’observations ne rend pas nécessairement les individus moins dispersés, mais peut rendre leur moyenne mieux estimée. Cette page affiche l’écart type de la série, pas une marge d’erreur, un intervalle de confiance ou une incertitude de mesure. Pour publier une moyenne avec son incertitude, définissez le plan d’échantillonnage et le niveau de confiance.

Questions fréquentes