Stammfunktion berechnen
Geben Sie die Koeffizienten eines Polynoms vom höchsten Grad bis zum konstanten Glied ein. Der Rechner wendet die Potenzregel gliedweise an, ergänzt die Integrationskonstante, prüft die Ableitung und berechnet optional das bestimmte Integral zwischen zwei Grenzen.
Polynom als Koeffizientenliste
„3; −4; 5“ bedeutet 3x² − 4x + 5. Eine Null innerhalb der Liste muss erhalten bleiben: „2; 0; 1“ steht für 2x² + 1.
Integrationsprotokoll
Was eine Stammfunktion ist
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f auf einem Intervall, wenn ihre Ableitung F′ dort gleich f ist. Integration kehrt in diesem Sinn das Ableiten um. Weil die Ableitung jeder Konstanten null ist, besitzt eine Funktion nicht nur eine, sondern eine ganze Familie von Stammfunktionen, die sich um eine Konstante C unterscheiden.
Bei f(x) = 3x² − 4x + 5 ist eine Stammfunktion x³ − 2x² + 5x. Addiert man 7, −12 oder jede andere Konstante, bleibt die Ableitung gleich. Beim unbestimmten Integral gehört „+ C“ deshalb zum vollständigen Ergebnis.
Potenzregel für Polynome
Für eine Potenz xⁿ mit n ungleich −1 wird beim Integrieren der Exponent um eins erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt. Ein Faktor vor dem Term bleibt erhalten. Aus 3x² wird 3x³/3 = x³. Aus −4x wird −4x²/2 = −2x².
Der konstante Term 5 kann als 5x⁰ gelesen werden. Seine Stammfunktion ist 5x. Das Modul verarbeitet ausschließlich Polynome mit nicht negativen ganzzahligen Exponenten, die durch ihre Koeffizientenliste beschrieben werden. Der Sonderfall 1/x ist kein Polynom und benötigt ln|x|.
Koeffizientenliste richtig lesen
Die Anzahl der Einträge bestimmt zunächst den Grad. Drei Werte stehen für ax² + bx + c, vier für ax³ + bx² + cx + d. Führende Nullen werden mathematisch entfernt: „0; 2; 3“ ist nicht quadratisch, sondern 2x + 3. Nullen in der Mitte dürfen dagegen nicht ausgelassen werden.
2x + 3.
2x² + 3.
x³ − 4x² + 7.
Verwenden Sie Semikola, damit ein deutsches Dezimalkomma wie 1,5 nicht mit dem Listentrenner kollidiert. Das Modul unterstützt bis Grad zehn, damit die Ausgabe lesbar bleibt.
Ableitungsprobe
Die sicherste Kontrolle einer Stammfunktion ist erneutes Ableiten. Der Exponent wird mit dem Koeffizienten multipliziert und danach um eins verringert. Aus x³ folgt 3x², aus −2x² folgt −4x und aus 5x folgt 5. Die Konstante C verschwindet.
Das Modul zeigt die rekonstruierte Ableitung direkt unter der Stammfunktion. Weil sie aus denselben intern berechneten Koeffizienten stammt, prüft sie den algebraischen Rechenweg. Ein unabhängig handschriftlich gebildetes Ergebnis sollte ebenfalls auf diese Weise kontrolliert werden.
Stimmt nur ein Term nicht, wurde häufig durch den alten statt den neuen Exponenten geteilt oder ein Vorzeichen verloren. Die gliedweise Probe lokalisiert den Fehler.
Bestimmtes Integral mit Grenzen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Stammfunktion und bestimmtes Integral. Für eine stetige Funktion auf dem Intervall gilt ∫ von a bis b gleich F(b) minus F(a). Die Integrationskonstante fällt bei der Differenz heraus, weil sie an beiden Stellen gleich wäre.
Im Beispiel ist F(2) = 8 − 8 + 10 = 10 und F(0) = 0. Das Integral beträgt 10. Werden die Grenzen vertauscht, ändert sich das Vorzeichen. Das Modul lässt deshalb auch b kleiner als a zu und bezeichnet die Orientierung ausdrücklich.
Integral ist orientierte Fläche
Ein bestimmtes Integral wird häufig als Fläche unter dem Graphen bezeichnet. Präziser ist es eine orientierte Fläche: Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, Bereiche darunter negativ. Positive und negative Teile können sich aufheben. Ein Integral von null bedeutet daher nicht automatisch, dass keine geometrische Fläche vorhanden ist.
Für den gesamten geometrischen Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse müssen Nullstellen im Intervall bestimmt, das Intervall aufgeteilt und die Beträge der Teilintegrale addiert werden. Dieses Modul berechnet nur das orientierte Gesamtintegral.
Auch Einheiten folgen der Multiplikation. Ist f eine Geschwindigkeit in m/s und x die Zeit in s, hat das Integral die Einheit Meter.
Lineare und konstante Funktionen
Für f(x) = mx + b lautet eine Stammfunktion m/2·x² + b·x + C. Für eine konstante Funktion f(x)=k lautet sie kx + C. Die Koeffizientenliste „4; −2“ ergibt 4x − 2 und integriert zu 2x² − 2x + C.
Ein Nullpolynom kann als „0“ eingegeben werden. Jede konstante Funktion C ist dann eine Stammfunktion, weil ihre Ableitung null ist. Der Rechner zeigt F(x)=C und Grad null als praktische Konvention, obwohl der Grad des Nullpolynoms in der Algebra nicht wie bei einem gewöhnlichen Polynom definiert ist.
Führende Nullwerte werden entfernt, damit die Potenzen korrekt bleiben.
Gebrochene Koeffizienten
Beim Teilen durch den neuen Exponenten entstehen häufig Brüche. Aus 2x² folgt 2/3 x³. Das Modul zeigt Dezimalzahlen mit bis zu sechs sinnvollen Stellen und kann dadurch periodische Brüche nur annähern. Für eine exakte Schulrechnung ist die Bruchdarstellung 2/3 vorzuziehen.
Die numerische Auswertung des bestimmten Integrals verwendet die ungerundeten JavaScript-Werte, nicht den gerundeten Anzeigetext. Dadurch summieren sich Rundungsfehler weniger stark. Bei sehr großen Exponenten oder Grenzen können Gleitkommafehler und Überläufe auftreten.
Wer exakte rationale Algebra benötigt, sollte ein Computeralgebrasystem mit Brucharithmetik oder eine handschriftliche Bruchrechnung verwenden.
Funktionen außerhalb des Polynommodells
| Funktion | Typische Stammfunktion | Besonderheit |
|---|---|---|
| 1/x | ln|x| + C | Definitionsbereich ohne 0 |
| eˣ | eˣ + C | bleibt beim Ableiten gleich |
| sin x | −cos x + C | Vorzeichen beachten |
| cos x | sin x + C | Winkel in Radiant |
| 1/(1+x²) | arctan x + C | keine Polynomregel |
Produkte, Quotienten und Verkettungen können Substitution, partielle Integration oder Zerlegung benötigen. Der Koeffizientenrechner weist solche Eingaben nicht sprachlich aus, sondern akzeptiert nur Zahlenlisten.
Integrationskonstante aus Anfangswert
Ist zusätzlich ein Punkt F(x₀)=y₀ bekannt, kann die Konstante bestimmt werden. Setzen Sie x₀ in eine Stammfunktion ohne C ein und rechnen Sie C = y₀ − F₀(x₀). Aus f(x)=2x folgt F=x²+C. Wenn F(1)=5 gelten soll, ist C=4.
Das Modul berechnet C nicht aus einem Anfangswert, weil sein Fokus auf der allgemeinen Familie liegt. Ergänzen Sie die Bedingung nach der angezeigten Integration. Prüfen Sie anschließend sowohl Ableitung als auch Punkt.
Solche Anfangswertprobleme treten bei Weg aus Geschwindigkeit, Bestand aus Änderungsrate und vielen Differentialgleichungen auf.
Beispiel gliedweise nachvollziehen
Die Liste 3; −4; 5 beschreibt ein Polynom zweiten Grades. Für 3x² erhöht sich der Exponent zu 3 und der Koeffizient wird durch 3 geteilt: 1x³. Für −4x erhöht sich der Exponent von 1 auf 2 und −4 wird durch 2 geteilt: −2x². Die Konstante 5 ergibt 5x.
Zusammen lautet die Stammfunktion x³ − 2x² + 5x + C. Ableiten liefert genau die Eingabe. Für a=0 und b=2 ist das bestimmte Integral 10.
Ändern Sie den mittleren Koeffizienten auf null, um zu sehen, warum eine Nullstelle in der Liste nicht weggelassen werden darf: Die Potenzposition bleibt erhalten.
Ergebnisse sauber notieren
Schreiben Sie beim unbestimmten Integral das Differential dx und am Ende +C. Beim bestimmten Integral stehen Grenzen am Integralzeichen und das Endergebnis enthält kein +C. Verwenden Sie Klammern bei negativen Grenzen, damit Potenzen korrekt ausgewertet werden.
Ein Taschenrechnerwert ohne Funktion und Grenzen ist nicht nachvollziehbar. Dokumentieren Sie Eingabepolynom, Stammfunktion, Einsetzungen F(b) und F(a) sowie Differenz. So lässt sich ein Vorzeichenfehler schnell finden.
Mathematikhinweis: Der Rechner unterstützt reelle Polynome bis Grad zehn. Er ist kein allgemeines Computeralgebrasystem und prüft keine Definitionsbereiche nichtpolynomieller Funktionen.
Linearität der Integration
Summen dürfen gliedweise integriert und konstante Faktoren vor das Integral gezogen werden. Mathematisch gilt ∫(a·f + b·g)dx = a∫f dx + b∫g dx. Genau deshalb kann der Rechner jeden Polynomterm einzeln mit der Potenzregel behandeln und die Ergebnisse anschließend addieren.
Die Linearität erlaubt auch eine schnelle Probe: Wenn ein Koeffizient verdoppelt wird, verdoppelt sich der entsprechende Stammfunktionsterm. Sie erlaubt jedoch nicht, Produkte als Produkt der Integrale oder Quotienten als Quotient der Integrale zu behandeln. Für f·g existiert keine direkte Entsprechung zur Produktregel des Ableitens.
Numerische Integration versus Stammfunktion
Wenn keine elementare Stammfunktion bekannt ist oder nur Messwerte vorliegen, kann ein bestimmtes Integral numerisch angenähert werden. Rechteck-, Trapez- und Simpsonregel zerlegen das Intervall und summieren Teilflächen. Ergebnisfehler hängen von Schrittweite und Funktionsverlauf ab.
Eine numerische Methode liefert meist nur einen Wert für konkrete Grenzen, keine allgemeine Formel F(x)+C. Der Polynomrechner arbeitet dagegen symbolisch über Koeffizienten und kann danach jede Grenze auswerten. Für diskrete Daten oder komplizierte Funktionen ist ein numerisches Werkzeug geeigneter.
Substitution als Umkehrung der Kettenregel
Bei zusammengesetzten Funktionen kann eine Substitution einen inneren Ausdruck u=g(x) ersetzen. Passt g′(x) als Faktor, wird das Integral einfacher. Beispielsweise integriert sich 2x·(x²+1)³ mit u=x²+1 zu u⁴/4 + C. Rücksubstitution liefert (x²+1)⁴/4 + C.
Die Koeffizientenliste expandiert nur bereits ausmultiplizierte Polynome. Sie erkennt keine verkettete Schreibweise und entscheidet keine Substitution. Die Ableitungsprobe bleibt auch nach einer fortgeschrittenen Methode die zuverlässige Kontrolle.
Häufige Fragen zur Stammfunktion
Warum steht + C am Ergebnis?
Weil Konstanten beim Ableiten verschwinden und daher unendlich viele Stammfunktionen existieren.
Wie integriere ich xⁿ?
Erhöhen Sie den Exponenten um eins und teilen Sie durch den neuen Exponenten, sofern n nicht −1 ist.
Wie prüfe ich eine Stammfunktion?
Leiten Sie sie ab; das Ergebnis muss wieder die ursprüngliche Funktion sein.
Wie berechne ich ein bestimmtes Integral?
Setzen Sie obere und untere Grenze in eine Stammfunktion ein und bilden Sie F(b) − F(a).
Warum kann das Integral negativ sein?
Flächen unter der x-Achse zählen beim orientierten Integral negativ.
Kann ich sin x eingeben?
Nein. Die Eingabe beschreibt ausschließlich Polynomkoeffizienten; trigonometrische Funktionen benötigen andere Regeln.