Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus beantwortet eine Potenzfrage: Zu welcher Hochzahl y muss die Basis b erhoben werden, damit x entsteht? Die Schreibweise log_b(x) = y ist genau gleichbedeutend mit bʸ = x. Beim Beispiel log₁₀(1000) = 3 gilt 10³ = 1000.

Ein Logarithmus ist damit die Umkehrung der Exponentialfunktion. Während eine Potenz Basis und Exponent in einen Wert umwandelt, ermittelt der Logarithmus aus Basis und Wert den Exponenten. Diese Perspektive hilft mehr als das bloße Auswendiglernen von Tastenfolgen.

Für reelle Ergebnisse verlangt der Rechner x>0, b>0 und b≠1. Negative Argumente können in der komplexen Mathematik logarithmiert werden, besitzen dort aber mehrere Zweige. Dieses Modul bleibt bewusst im reellen Zahlenbereich.

Basiswechsel mit dem natürlichen Logarithmus

JavaScript und viele Taschenrechner stellen direkt den natürlichen Logarithmus zur Basis e bereit. Einen Logarithmus zu einer beliebigen zulässigen Basis berechnet man durch einen Quotienten.

Basiswechsel: log_b(x) = ln(x)/ln(b).

Die Formel folgt aus x = bʸ. Logarithmiert man beide Seiten natürlich, erhält man ln(x) = y·ln(b). Division durch ln(b) liefert y. Für x=1000 und b=10 ergibt sich 6,907755… geteilt durch 2,302585… = 3.

Statt ln kann jede andere gemeinsame Logarithmusbasis verwendet werden: log_b(x) = lg(x)/lg(b). Wichtig ist, im Zähler und Nenner dieselbe Basis zu benutzen. Der Rechner verwendet intern natürliche Logarithmen und zeigt mehrere gebräuchliche Varianten.

Natürlicher, dekadischer und binärer Logarithmus

Das Symbol „log“ ohne Basis ist kontextabhängig. In höherer Mathematik meint es häufig ln, in manchen technischen oder schulischen Kontexten lg. Schreiben Sie die Basis ausdrücklich, wenn Missverständnisse möglich sind.

Die Zahl e ist die natürliche Basis, weil die Funktion eˣ ihre eigene Ableitung besitzt. Dadurch erscheinen ln und e besonders elegant in Differentialgleichungen, kontinuierlichem Wachstum und Zinsmodellen.

Definitionsbereich und besondere Werte

Für jede zulässige Basis gilt log_b(1)=0, weil b⁰=1. Außerdem ist log_b(b)=1 und log_b(bᵏ)=k. Diese Werte eignen sich hervorragend zur Kontrolle.

Das Argument null ist nicht erlaubt. Für eine Basis größer als eins fällt der Logarithmus bei x→0 von rechts unbegrenzt gegen minus unendlich; ein endlicher Wert an null existiert nicht. Negative reelle Argumente liegen außerhalb des hier verwendeten Definitionsbereichs.

Die Basis eins ist ausgeschlossen, weil 1ʸ für jeden Exponenten eins bleibt. Eine Umkehrfunktion kann nicht eindeutig angeben, welcher Exponent gemeint ist. Eine negative Basis erzeugt bei nichtganzzahligen Exponenten häufig keine reellen Werte und ist ebenfalls nicht zugelassen.

Basen zwischen null und eins

Auch 0<b<1 ist eine gültige Logarithmusbasis. Die zugehörige Exponentialfunktion fällt statt zu steigen. Daher ist log_b(x) positiv, wenn 0<x<1, und negativ, wenn x>1.

Beispielsweise gilt log₀,₅(8) = −3, weil (1/2)⁻³ = 2³ = 8. Dagegen ist log₀,₅(1/8) = 3. Das Vorzeichenverhalten ist gegenüber einer Basis größer als eins umgekehrt.

Die Basiswechsel-Formel verarbeitet diesen Fall automatisch: ln(0,5) ist negativ. Solange x positiv ist und b nicht eins entspricht, bleibt der Quotient definiert.

Die drei wichtigsten Logarithmengesetze

Die Gesetze übersetzen Multiplikation in Addition, Division in Subtraktion und Potenzen in Faktoren. Historisch ermöglichten Logarithmentafeln dadurch aufwendige Rechnungen mit einfacheren Operationen. Heute sind sie weiterhin zentral beim Umformen von Gleichungen.

Die Bedingungen dürfen nicht vergessen werden: Im reellen Bereich müssen u und v für die einzelnen Logarithmen positiv sein. Außerdem ist log(u+v) im Allgemeinen nicht log(u)+log(v). Für eine Summe gibt es kein entsprechendes Zerlegungsgesetz.

Exponentialgleichungen lösen

Bei einer Gleichung bˣ = c kann man direkt x = log_b(c) schreiben. Für 3ˣ = 20 ergibt sich x = ln(20)/ln(3) ≈ 2,727. Die Rückprobe 3²,⁷²⁷ liegt nahe bei 20.

Bei A·eᵏᵗ = B teilt man zuerst durch A und logarithmiert: kt = ln(B/A), also t = ln(B/A)/k. Dieses Muster begegnet bei Wachstum, Zerfall, Zinseszins und Abkühlungsmodellen.

Logarithmieren ist nur zulässig, wenn das Argument positiv ist. Bei einer Sachaufgabe müssen außerdem Einheit und Gültigkeitsbereich stimmen. Ein mathematisch gelöstes negatives Zeitintervall kann bedeuten, dass das Ziel vor dem gewählten Startzeitpunkt lag.

Verdopplungs- und Halbwertszeit

Für exponentielles Wachstum N(t)=N₀eᵏᵗ ist die Verdopplungszeit T = ln(2)/k. Bei Zerfall mit k<0 wird die positive Halbwertszeit T = ln(1/2)/k verwendet. Beide Formeln entstehen durch Division der Zielgleichung durch den Anfangswert und anschließendes Logarithmieren.

Bei diskretem Wachstum mit Faktor q pro Periode lautet die Zahl der Perioden bis zum Faktor F: n = log_q(F). Ein Bestand, der pro Periode um fünf Prozent wächst, hat q=1,05. Für eine Verdopplung sind log₁,₀₅(2) ≈ 14,21 Perioden nötig.

Konstante Wachstumsraten sind Modellannahmen. Zinsen, Populationen oder technische Alterung ändern sich in der Praxis. Der Logarithmus löst das gewählte Modell exakt, macht dessen Annahmen aber nicht automatisch realistisch.

Logarithmische Skalen

Logarithmische Skalen stellen Verhältnisse statt absolute Differenzen gleichmäßig dar. Auf einer Basis-10-Skala liegen 1, 10, 100 und 1000 in gleichen Abständen, weil ihre Logarithmen 0, 1, 2 und 3 sind.

Der pH-Wert verwendet den negativen Zehnerlogarithmus einer Aktivität. Dezibel beschreiben Leistungs- oder Amplitudenverhältnisse mit logarithmischen Faktoren. Magnituden und andere Fachskalen besitzen eigene Definitionen. Man darf deshalb nicht einfach irgendeinen Logarithmus ohne den fachlichen Vorfaktor anwenden.

Logarithmische Achsen sind hilfreich, wenn Daten mehrere Größenordnungen umfassen oder exponentielle Zusammenhänge sichtbar gemacht werden sollen. Null und negative Werte können auf einer gewöhnlichen reellen Log-Achse nicht dargestellt werden.

Kehrwert- und Basisbeziehungen

Vertauscht man Argument und Basis, erhält man für positive zulässige Werte log_x(b) = 1/log_b(x), sofern der ursprüngliche Logarithmus nicht null ist. Im Beispiel ist log₁₀₀₀(10) = 1/3.

Für die Kehrwertbasis gilt log_1/b(x) = −log_b(x). Das erklärt die umgekehrte Monotonie von Basen zwischen null und eins. Außerdem ist log_b(1/x) = −log_b(x).

Wenn x=1, ist log_b(x)=0 und der Kehrwert 1/0 nicht definiert. Die Ergebnisbox kennzeichnet die vertauschte Basisbeziehung dann entsprechend.

Antilogarithmus und Rückprobe

Der Antilogarithmus kehrt die Logarithmusrechnung um. Wenn y = log_b(x), dann gilt x = bʸ. Das Feld „Exponent für bʸ“ kann unabhängig vom Argument verwendet werden und zeigt die Potenz zur aktuellen Basis.

Für die eigentliche Rückprobe berechnet das Modul b hoch dem ermittelten Logarithmus und vergleicht den Wert mit x. Eine kleine numerische Differenz kann durch Gleitkommarundung entstehen. Bei exakt darstellbaren Beispielen wie 10³ ist der Fehler null.

Bei sehr großen Exponenten kann bʸ den darstellbaren Zahlenbereich überschreiten und als unendlich erscheinen. Sehr kleine Werte können auf null unterlaufen. Das ist eine technische Grenze der numerischen Darstellung, keine neue Rechenregel.

Genauigkeit und Rundung

Der Rechner zeigt zwischen zwei und zwölf Nachkommastellen. Intern wird mit der üblichen JavaScript-Gleitkommapräzision gerechnet. Mehr angezeigte Stellen bedeuten nicht automatisch mehr Genauigkeit der Ausgangsdaten.

Runden Sie in mehrstufigen Rechnungen möglichst erst am Ende. Wird ein Logarithmus früh auf zwei Stellen gekürzt und danach als Exponent verwendet, kann sich der Fehler durch die Exponentialfunktion verstärken. Bewahren Sie Zwischenergebnisse mit zusätzlichen Stellen auf.

Bei Basen sehr nahe an eins ist ln(b) sehr klein. Der Quotient ln(x)/ln(b) kann dann extrem groß und empfindlich gegenüber Rundung werden. Prüfen Sie, ob eine solche Basis fachlich beabsichtigt ist.

Typische Fehler vermeiden

• Basis und Argument vertauschen
• „log“ ohne geklärte Basis verwenden
• log(u+v) fälschlich in zwei Logarithmen zerlegen
• null oder negative Werte im reellen Bereich logarithmieren
• die Basis eins zulassen
• zu früh runden oder Einheiten im Wachstumsmodell vergessen

Schreiben Sie die Potenzgleichung bʸ=x neben die Logarithmusform. Dadurch lassen sich viele Vorzeichen- und Vertauschungsfehler sofort erkennen. Bei log₂(8) muss der gesuchte Exponent drei sein, weil 2³=8.

Rechenbereich: Das Modul liefert reelle numerische Werte. Komplexe Logarithmen, symbolische Vereinfachungen und Unsicherheitsrechnung sind nicht enthalten.

Ergebnisse grob im Kopf abschätzen

Liegt x zwischen zwei aufeinanderfolgenden Potenzen der Basis, liegt auch der Logarithmus zwischen deren Exponenten. Weil 2⁹=512 und 2¹⁰=1024 gilt, muss log₂(1000) zwischen 9 und 10 und nahe bei 10 liegen. Die Anzeige 9,965784 ist damit plausibel.

Bei Basis zehn entspricht der ganzzahlige Anteil für x≥1 ungefähr der Größenordnung. Eine positive Zahl zwischen 100 und 1000 besitzt einen Zehnerlogarithmus zwischen 2 und 3. Für Werte zwischen null und eins ist der Logarithmus negativ: lg(0,01)=−2.

Solche Abschätzungen entdecken vertauschte Eingaben und falsche Basen schnell. Sie ersetzen die genaue Rechnung nicht, geben aber eine Größenordnung vor, gegen die das numerische Resultat geprüft werden kann.

Häufige Fragen zum Logarithmus

References

• NIST DLMF – Logarithm, Exponential and Powers
• Wolfram MathWorld – Logarithm
• Wolfram MathWorld – Change of Base Formula