Una matriz organiza números por filas y columnas

Una matriz m×n tiene m filas y n columnas. A=[[4,7],[2,6]] es 2×2. El elemento a₂₁ es 2 porque está en la segunda fila y primera columna. La posición forma parte del significado: intercambiar 7 y 2 cambia la transformación y las operaciones posteriores.

Matrices, vectores y datos

Una columna puede representar un vector; una matriz puede transformar ese vector, almacenar coeficientes de ecuaciones o organizar observaciones. No toda tabla de datos se multiplica con las reglas matriciales: primero debe definirse qué representan filas, columnas y unidades.

Dimensión como primera validación

La calculadora lee comas entre entradas y punto y coma entre filas. Todas las filas deben tener igual longitud. Limita el determinante y la inversa a matrices cuadradas 2×2 o 3×3; la transpuesta puede cambiar cualquier matriz admitida de m×n a n×m.

Una matriz cuadrada tiene igual número de filas y columnas, pero no por eso es invertible. El determinante decide si la transformación aplasta alguna dirección y pierde información. Una matriz con determinante cero es singular y no tiene inversa.

Suma, resta, escalar y transpuesta

Operaciones elemento a elemento

A+B y A−B requieren exactamente la misma dimensión. Se combinan entradas correspondientes: [[1,2],[3,4]]+[[5,6],[7,8]]=[[6,8],[10,12]]. No se alinean por valor ni se completan celdas ausentes. Las unidades de las entradas también deben ser compatibles.

Multiplicar por un escalar

Aunque el selector se concentra en operaciones entre matrices, un escalar k multiplica cada entrada. Si A representa costos en pesos, 1.16A podría aplicar un factor uniforme, pero solo si ese modelo corresponde al problema. Multiplicar una matriz por un número no cambia su dimensión.

Transpuesta

La transpuesta Aᵀ intercambia filas y columnas: (Aᵀ)ᵢⱼ=Aⱼᵢ. Una matriz 2×3 se vuelve 3×2. Se cumple (Aᵀ)ᵀ=A y (AB)ᵀ=BᵀAᵀ; observa que el orden del producto se invierte. En una matriz simétrica, A=Aᵀ.

Producto matricial: fila por columna

El producto AB existe cuando el número de columnas de A coincide con las filas de B. Si A es m×n y B es n×p, AB es m×p. El elemento cᵢⱼ es el producto punto de la fila i de A con la columna j de B.

Ejemplo 2×2

Con A=[[4,7],[2,6]] y B=[[1,0],[3,2]], la entrada superior izquierda es 4×1+7×3=25; la superior derecha es 4×0+7×2=14. La segunda fila produce 20 y 12. AB=[[25,14],[20,12]]. Calcular BA da otra matriz, porque en general AB≠BA.

Por qué no es multiplicación por celdas

Multiplicar entradas correspondientes es el producto de Hadamard, una operación diferente. Para el ejemplo produciría [[4,0],[6,12]]. Si una herramienta o biblioteca usa “*”, confirma si significa producto matricial o elemento a elemento. Esta página usa la regla fila por columna.

Interpretación como composición

Si B transforma primero un vector y A transforma después el resultado, la composición es AB. El orden de escritura refleja que la función más cercana al vector actúa primero. Invertir matrices puede representar otra secuencia física y por eso no debe hacerse para acomodar dimensiones sin justificación.

Determinante e inversa

Determinante 2×2

Para [[a,b],[c,d]], det(A)=ad−bc. Con [[4,7],[2,6]], det=24−14=10. Geométricamente, el valor absoluto indica el factor de escala de área y el signo indica orientación. Determinante cero significa que el paralelogramo se aplasta en una línea o punto.

Determinante 3×3

Puede calcularse por cofactores: a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg). Los signos alternan +,−,+ en la primera fila. También se puede triangularizar y multiplicar la diagonal, controlando los cambios por intercambios de filas. La calculadora aplica una eliminación con pivoteo para determinante e inversa.

Inversa por Gauss-Jordan

Para encontrar A⁻¹, forma la matriz aumentada [A|I] y usa operaciones elementales hasta convertir el lado izquierdo en I. El derecho se vuelve A⁻¹. En 2×2 existe la fórmula A⁻¹=(1/det)[[d,−b],[−c,a]]. Para A del ejemplo, A⁻¹=[[0.6,−0.7],[−0.2,0.4]].

La comprobación es AA⁻¹≈I y A⁻¹A≈I. Los decimales pueden generar residuos diminutos como 2.2×10⁻¹⁶; no significan que la identidad esté conceptualmente mal. La página reporta el mayor error absoluto y lo compara con una tolerancia numérica.

Sistemas lineales y uso responsable

Resolver Ax=b

Si A es invertible, x=A⁻¹b. Sin embargo, calcular una inversa explícita no siempre es la ruta numérica más estable o eficiente. La eliminación de Gauss resuelve el sistema directamente. Una calculadora de sistemas debe además identificar casos sin solución o con infinitas soluciones mediante rangos.

Singularidad y casi singularidad

Un determinante exactamente cero impide invertir. Un determinante muy pequeño no basta por sí solo para medir inestabilidad porque depende de escala, pero puede señalar filas casi dependientes. En problemas sensibles, se usa número de condición y métodos numéricos robustos. Este módulo es educativo y se limita a 3×3.

Redondear al final

Una inversa con fracciones puede mostrar decimales periódicos. Conserva más cifras durante multiplicaciones y redondea la salida. Redondear cada celda antes de comprobar puede hacer que AA⁻¹ se aleje visiblemente de I. Si necesitas aritmética exacta, trabaja con fracciones racionales o álgebra simbólica.

En una aplicación mexicana de costos, inventario o producción, documenta qué significa cada fila y columna y usa una moneda o unidad consistente. Una matriz numéricamente válida no corrige una tabla cuyos ejes fueron intercambiados. Etiqueta el orden antes de copiar datos a la calculadora.

Revisa siempre tres aspectos: dimensión compatible, operación correcta y sentido del resultado. El determinante es escalar; la inversa conserva dimensión; AB puede tener dimensión distinta de ambas. Después ejecuta una identidad: (Aᵀ)ᵀ=A, A+0=A o AA⁻¹≈I.

Operaciones elementales de fila

Intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo o sumar a una fila un múltiplo de otra preserva el conjunto solución de un sistema. En el determinante, un intercambio cambia el signo y multiplicar una fila escala el determinante. La eliminación aprovecha estas reglas para crear ceros debajo de los pivotes.

Un pivote pequeño puede amplificar errores de redondeo. El código busca en cada columna la fila disponible con mayor valor absoluto y la intercambia, técnica llamada pivoteo parcial. No elimina todos los problemas de condición, pero es más estable que dividir siempre por la entrada diagonal original.

Ejemplo de comprobación de inversa

Para A=[[4,7],[2,6]] y A⁻¹=[[0.6,−0.7],[−0.2,0.4]], la primera entrada del producto es 4×0.6+7×(−0.2)=1. La segunda es 4×(−0.7)+7×0.4=0. La segunda fila produce 0 y 1. Así AA⁻¹=I. Comprobar al menos una fila por columna ayuda a detectar una transcripción invertida.

Si copias una matriz desde una hoja de cálculo, verifica separadores decimales y de columna. La coma tiene aquí función de separación, por lo que usa punto para decimales: 1.5,2.5; 3,4. Una configuración que exporta “1,5” como decimal requerirá adaptar el texto antes de pegarlo.