Una desigualdad busca regiones, no solo puntos

La ecuación x²−5x+6=0 tiene raíces 2 y 3. La desigualdad x²−5x+6≥0 pregunta dónde el polinomio es positivo o cero. La respuesta es (−∞,2]∪[3,∞): dos intervalos completos. Resolver únicamente la ecuación encuentra fronteras, pero falta decidir qué lados satisfacen el signo.

Llevar todo a un lado

Para comparar expresiones, resta el lado derecho. x²+1≥4x se convierte en x²−4x+1≥0. Los coeficientes capturados corresponden a esa diferencia. Mover un término cambia su signo; conservarlo resolvería una desigualdad distinta.

Estricto e inclusivo

> y < excluyen los puntos donde la expresión vale cero y se escriben con paréntesis. ≥ y ≤ los incluyen y usan corchete para raíces finitas. Infinito siempre lleva paréntesis porque no es un número alcanzable. Esta distinción es parte de la solución, no formato decorativo.

La calculadora trabaja sobre números reales. Si el contexto restringe a enteros, fechas o cantidades no negativas, intersecta el intervalo algebraico con ese dominio después de resolver.

Desigualdades lineales

Despejar y vigilar el signo

En bx+c>0, resta c. Si b es positivo, x>−c/b. Si b es negativo, dividir invierte la relación: x<−c/b. Por ejemplo, −2x+6>0 lleva a −2x>−6 y después x<3. Olvidar invertir es el error característico.

Por qué se invierte

En la recta, 2<5. Multiplicar por −1 produce −2>−5; el orden se refleja alrededor de cero. Toda multiplicación o división por un negativo exige invertir. Sumar un número en ambos lados o multiplicar por positivo conserva la dirección.

Coeficiente de x igual a cero

Si a=0 y b=0, queda una afirmación constante como 5≥0, verdadera para todo real, o −2>0, falsa para todos. No hay una frontera que despejar. La herramienta evalúa directamente y devuelve ℝ o ∅.

Cuadráticas mediante raíces y tabla de signos

Dos raíces reales

Si Δ>0, las raíces r₁<r₂ dividen la recta en tres intervalos. Una cuadrática no cambia de signo dentro de un intervalo sin cruzar una raíz. Prueba un valor en cada región o usa la apertura. Con a>0, el signo es positivo fuera y negativo entre raíces; con a<0, se invierte.

Raíz doble

Si Δ=0, el polinomio es a(x−r)². No cambia de signo al pasar por r. Con a>0 es no negativo en todos los reales, cero solo en r. Así a(x−r)²>0 excluye r, mientras ≥0 incluye todo ℝ.

Sin raíces reales

Si Δ<0, la cuadrática nunca cruza cero y conserva el signo de a. Con a>0, es positiva para todo real: >0 y ≥0 dan ℝ, mientras <0 y ≤0 dan ∅. Con a<0 ocurre lo contrario.

La tabla de signos muestra un punto de prueba por intervalo. Para regiones infinitas se elige un número a una unidad de la raíz externa; cualquier otro punto de la misma región produce el mismo signo si no hay otra raíz.

Notación de intervalos y unión

Paréntesis, corchetes y unión

x<2 se escribe (−∞,2). 2≤x<5 se escribe [2,5). Si se satisfacen regiones separadas, se usa ∪. Para (x−2)(x−3)≥0, las regiones exteriores se unen: (−∞,2]∪[3,∞).

Intersección con condiciones adicionales

Si además x≥0, intersecta. (−∞,2]∪[3,∞) con [0,∞) produce [0,2]∪[3,∞). “Y” suele indicar intersección; “o” suele indicar unión, pero lee la lógica completa.

Comprobar fronteras

Sustituye cada raíz: la expresión vale cero. Solo relaciones inclusivas la aceptan. Después prueba al menos un valor interior de cada intervalo elegido y uno de cada intervalo rechazado. Esto detecta una apertura de parábola invertida o un corchete incorrecto.

Aplicaciones y precauciones

Restricciones de presupuesto

Si un costo es C(x)=80x+500 MXN y el presupuesto máximo es $3,700, resuelve 80x+500≤3700: x≤40. Como x cuenta unidades, combina con x entero no negativo para obtener 0≤x≤40. La desigualdad algebraica sola permite decimales y negativos.

Dominio en expresiones racionales

Para desigualdades con fracciones, los ceros del denominador también son puntos críticos y nunca se incluyen. Multiplicar ambos lados por una expresión de signo desconocido puede invertir o no la relación. Esta página solo resuelve polinomios de grado hasta dos; no captures un denominador como coeficiente.

Radicales y valores absolutos

|x|<3 equivale a −3<x<3; |x|>3 crea dos regiones. Elevar una desigualdad al cuadrado requiere conocer signos. Esas familias necesitan análisis por casos y no se reducen automáticamente a los tres coeficientes sin una transformación justificada.

Redondeo de raíces

Una raíz irracional delimita el intervalo de forma exacta, aunque la interfaz muestre decimal. No uses el decimal redondeado como si fuera frontera exacta en una prueba de alta precisión. Conserva la forma radical si se requiere exactitud o usa más cifras para una aproximación.

Una gráfica ilustra zonas arriba o abajo del eje, pero la tabla de signos determina inclusión y dominio. Puntos muy cercanos o una escala vertical comprimida pueden ocultar cruces. Usa la gráfica como apoyo y la sustitución como verificación.

Ejemplo cuadrático completo

Resuelve −2x²+8x−6≤0. Primero factoriza −2(x²−4x+3)=−2(x−1)(x−3). Los puntos críticos son 1 y 3. Como la parábola abre hacia abajo, el polinomio es positivo entre las raíces y negativo fuera. La relación ≤0 elige (−∞,1]∪[3,∞). Los corchetes se incluyen porque en 1 y 3 el valor es cero.

Prueba x=0: −6≤0, así que la región izquierda cumple. Prueba x=2: −8+16−6=2, que no cumple. Prueba x=4: −32+32−6=−6, que cumple. Esta secuencia confirma los tres intervalos sin depender solo de recordar el patrón de apertura.

Desigualdades compuestas

Una expresión como 2<3x−1≤8 contiene dos relaciones simultáneas. Suma uno en las tres partes: 3<3x≤9; divide entre tres: 1<x≤3, intervalo (1,3]. Si multiplicas las tres partes por un negativo, invierte ambos signos y reordena para conservar lectura ascendente.

Las expresiones “x<−2 o x≥5” producen unión. “x>−2 y x≤5” produce intersección. En lenguaje cotidiano, verifica si las condiciones deben cumplirse a la vez o basta una. Una calculadora de un solo polinomio no reemplaza ese análisis lógico.

Ejemplo con raíz doble

Para (x−4)²≤0, un cuadrado nunca es negativo y solo vale cero en x=4. La solución es {4}. Para (x−4)²<0, la solución es ∅. Para ≥0, todos los reales; para >0, todos excepto 4. Este ejemplo muestra por qué una raíz doble no cambia el signo.

Precaución al multiplicar por una expresión

En (x−1)/(x+2)>0, no multipliques simplemente por x+2, porque su signo cambia en −2. Debes incluir −2 y 1 como puntos críticos, probar intervalos y excluir −2 siempre. El resultado es (−∞,−2)∪(1,∞). Este caso ilustra por qué el módulo separa desigualdades polinómicas de racionales.

Comunicar una respuesta contextual

Si x representa meses desde hoy, un intervalo negativo puede quedar fuera del modelo. Si representa temperatura, los negativos pueden ser válidos. Presenta primero la solución algebraica y después la intersección con el dominio del problema. No borres intervalos únicamente porque parezcan poco intuitivos.