La derivada mide cambio instantáneo

La razón media entre x y x+h es [f(x+h)−f(x)]/h. La derivada f′(x) es el límite de esa razón cuando h se acerca a cero, si existe. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente; en un modelo temporal puede ser velocidad o tasa instantánea.

Unidades de la derivada

Si f mide metros y x segundos, f′ mide metros por segundo. Si un costo C(q) está en MXN y q en unidades, C′ se expresa en MXN por unidad y aproxima costo marginal. La derivada no conserva automáticamente la unidad de la función.

Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto, es continua allí. La recíproca no siempre: |x| es continua en cero pero tiene pendientes laterales −1 y 1, por lo que no posee una derivada única. Esquinas, cúspides, discontinuidades y tangentes verticales requieren análisis lateral.

El módulo usa familias suaves dentro de su dominio. No interpreta expresiones arbitrarias ni decide derivabilidad de funciones por partes. En ln(x), exige x>0; en potencias reales con base negativa, el dominio depende del exponente y se restringe para evitar resultados complejos ambiguos.

Regla de potencia y polinomios

d/dx[xⁿ]=nxⁿ⁻¹

La regla de potencia multiplica por el exponente y lo reduce uno. d/dx[x⁵]=5x⁴; d/dx[x]=1; d/dx[1]=0. Para exponentes reales, la regla funciona en regiones donde xⁿ está definida y diferenciable.

Linealidad

La derivada de una suma es la suma de derivadas y una constante multiplicativa sale: d/dx[af+bg]=af′+bg′. Por eso un polinomio se deriva término por término. Para f=x³−3x²+4, f′=3x²−6x.

Evaluación en un punto

En x₀=2, f(2)=8−12+4=0 y f′(2)=12−12=0. La tangente es horizontal: y−0=0(x−2), o y=0. Esto no significa que la función sea constante; solo que su cambio instantáneo es cero en ese punto.

Producto, cociente y cadena

Producto

(fg)′=f′g+fg′. No es f′g′. Para x²eˣ, la derivada es 2xeˣ+x²eˣ=eˣ(2x+x²). La regla conserva dos maneras de que cambie el producto: cambia el primer factor o cambia el segundo.

Cociente

(f/g)′=(f′g−fg′)/g² donde g≠0. El orden del numerador importa. Para x/(x+1), resulta [(1)(x+1)−x(1)]/(x+1)²=1/(x+1)². Conserva las restricciones del denominador original.

Regla de cadena

Si y=f(g(x)), entonces y′=f′(g(x))g′(x). En sen(3x), la derivada externa es cos(3x) y la interna aporta 3: 3cos(3x). Omitir ese factor es el error más común en las familias parametrizadas.

Para (2x+1)⁵, la cadena produce 5(2x+1)⁴×2=10(2x+1)⁴. La herramienta muestra formas A·xⁿ o A·sen(kx); una expresión más compuesta debe desglosarse con reglas de producto, cociente y cadena.

Exponenciales, logaritmos y trigonometría

Exponencial natural

eˣ es su propia derivada. Para Aeᵏˣ+C, f′=Akeᵏˣ. La constante C desaparece. Si k es negativo, la función decae y la derivada tiene signo opuesto a A. En aˣ con base a positiva, la derivada es aˣ ln(a).

Logaritmo natural

d/dx ln(x)=1/x para x>0. Para ln|x|, la derivada también es 1/x donde x≠0, pero esa es otra función y dominio. La modalidad A ln(x)+C no acepta x₀≤0.

Seno y coseno en radianes

d/dx sen(x)=cos(x) y d/dx cos(x)=−sen(x) cuando x se mide en radianes. Si una variable angular se expresa en grados, aparece un factor π/180. El módulo interpreta kx y x₀ en radianes para mantener las fórmulas estándar.

La periodicidad permite comprobaciones. La pendiente de sen(x) en 0 es 1; la de cos(x) en 0 es 0. Para sen(2x), la pendiente en cero es 2. Una diferencia numérica cercana debe concordar.

Recta tangente y comprobación numérica

Ecuación punto-pendiente

Con y₀=f(x₀) y m=f′(x₀), la tangente es y−y₀=m(x−x₀). Cerca de x₀, f(x)≈f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀), la linealización. La aproximación se degrada al alejarse y depende de curvatura.

Diferencia central

[f(x₀+h)−f(x₀−h)]/(2h) suele aproximar mejor que una diferencia hacia adelante porque cancela parte del error. La página usa un h pequeño relativo a x₀ y compara con la derivada analítica. Un desacuerdo grande indica dominio, escala o fórmula incorrecta.

h no debe ser cero ni demasiado pequeño

Si h es grande, mide secantes alejadas; si es extremadamente pequeño, restar números casi iguales pierde precisión de punto flotante. La derivada analítica evita elegir h, mientras la diferencia central sirve como auditoría aproximada.

Puntos críticos

f′(x)=0 identifica candidatos a máximos, mínimos o puntos estacionarios, pero no decide cuál. Revisa cambio de signo, segunda derivada o contexto. Un punto donde la derivada no existe también puede ser extremo, como el vértice de |x|.

En optimización aplicada a precios, producción o movimiento, conserva restricciones. Un máximo algebraico fuera del intervalo factible no es la decisión válida. Evalúa extremos del dominio junto con puntos críticos y documenta unidades.

Ejemplo de producto y cadena juntos

Para f(x)=x²sen(3x), usa producto: f′=2x sen(3x)+x²·3cos(3x). El factor 3 proviene de la cadena. En x=0, ambos términos valen cero. En x=1, la pendiente combina dos contribuciones; derivar solo x² o solo el seno dejaría fuera parte del cambio.

Segunda derivada y concavidad

f″ deriva otra vez y mide cómo cambia la pendiente. Si f″>0 en un intervalo, la gráfica es cóncava hacia arriba; si f″<0, hacia abajo. En posición respecto del tiempo, f″ puede ser aceleración. Un cambio de concavidad con continuidad apropiada identifica candidato a inflexión.

Derivación implícita

Cuando x y y se relacionan sin y despejada, deriva ambos lados tratando y como función de x. De x²+y²=25 resulta 2x+2y y′=0 y y′=−x/y donde y≠0. La misma x puede corresponder a dos ramas, y la pendiente depende del signo de y.

Errores de simplificación

Simplificar antes de derivar puede ayudar, pero conserva dominio. (x²−1)/(x−1)=x+1 solo para x≠1. La expresión simplificada tiene derivada 1, pero la función original no está definida en 1. Una derivada no debe crear un punto que la función perdió.

Aproximación marginal

Si C′(100)=52 MXN por unidad, C(101)−C(100) se aproxima a $52, pero no tiene que ser exactamente 52. La aproximación lineal funciona para cambios pequeños y funciones suaves. Para decisiones económicas, compara con el cambio discreto real y no interpretes una derivada continua como número obligatorio de piezas.