La base dos usa el mismo valor posicional con dos dígitos

El sistema decimal tiene diez dígitos y cada posición vale una potencia de 10. El binario usa solo 0 y 1; sus posiciones valen potencias de 2. De derecha a izquierda aparecen 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8 y así sucesivamente. El binario 101101₂ equivale a 1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=45.

Los ceros conservan la posición

En 101101, los ceros indican que no se suman 16 ni 2, pero no pueden omitirse: 1111₂ sería 15, no 45. Igual que un cero en 205 conserva las decenas, cada cero binario mantiene la potencia correspondiente. Agrupar de derecha a izquierda ayuda a no desplazar los pesos.

Subíndices y contexto

La cadena “101” puede significar ciento uno en decimal o cinco en binario. El subíndice aclara: 101₂=5₁₀. En código, algunos lenguajes usan el prefijo 0b101. Esta página presenta subíndices en el resultado y pide seleccionar la base de entrada para que la interpretación no dependa de una suposición.

Los valores se limitan a enteros seguros. El binario también representa fracciones mediante posiciones 2⁻¹, 2⁻² y posteriores, pero muchas fracciones decimales no terminan exactamente en base dos. La calculadora se concentra en enteros para que suma, resta, producto, división y conversiones sean comprobables sin una política oculta de redondeo.

Convertir entre binario y decimal

De binario a decimal

Multiplica cada bit por su potencia de dos y suma. Para 11010₂: 1×16+1×8+0×4+1×2+0×1=26. Otra técnica recorre de izquierda a derecha: empieza en cero, duplica el acumulado y agrega el siguiente bit. Con 11010: 0→1→3→6→13→26. Esta segunda ruta es eficiente en programas y evita escribir todas las potencias.

De decimal a binario

Divide repetidamente entre dos y anota residuos. Para 45: 45÷2 deja 1; 22÷2 deja 0; 11÷2 deja 1; 5÷2 deja 1; 2÷2 deja 0; 1÷2 deja 1. Lee los residuos de abajo hacia arriba y obtienes 101101₂. También puedes restar potencias: 45 contiene 32, después 8, 4 y 1.

Hexadecimal como abreviatura

La base 16 usa 0–9 y A–F. Cada dígito hexadecimal corresponde a cuatro bits: A=1010, F=1111. Para convertir 101101₂, agrupa desde la derecha y completa con ceros: 0010 1101=2D₁₆. El hexadecimal permite leer direcciones, colores y datos compactos sin perder la correspondencia exacta con binario.

Aritmética binaria paso a paso

Suma y acarreo

Las reglas básicas son 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 y 1+1=10₂: se escribe cero y se lleva uno. Si además llega un acarreo, 1+1+1=11₂. Para 101101₂+1110₂, alinear por la derecha produce 101101+001110=111011₂, equivalente a 45+14=59.

Resta y préstamo

Cuando se resta 1 de 0, se toma prestado de la posición izquierda. Ese préstamo vale 10₂, es decir, dos unidades de la posición actual. La resta puede producir un entero negativo; el módulo lo muestra con signo menos y magnitud binaria, por ejemplo −101₂. Esta notación es una representación matemática, no necesariamente el patrón de bits que guardaría una computadora.

Multiplicación y división entera

Multiplicar en binario usa productos parciales de cero o del mismo número desplazado. Multiplicar por 2 desplaza un bit a la izquierda: 1011₂×10₂=10110₂. La división entera devuelve cociente y residuo. 1101₂÷100₂ es 11₂ con residuo 1₂, porque 13÷4=3 y sobra 1. Si necesitas una fracción binaria, el residuo puede seguirse multiplicando por dos, pero esta herramienta conserva la versión entera exacta.

La comprobación decimal es deliberada. Si una suma binaria parece dudosa, convierte operandos y respuesta: 45+14=59. Para división, verifica dividendo=divisor×cociente+residuo. Cambiar de representación no cambia la operación y ofrece una segunda ruta para detectar un bit mal alineado.

Números negativos, bits y límites prácticos

Signo matemático frente a complemento a dos

Escribir −101₂ significa menos cinco. Los equipos suelen guardar negativos con complemento a dos dentro de un ancho fijo. En 8 bits, −5 se representa como 11111011: se parte de 00000101, se invierten bits y se suma uno. Sin especificar 8, 16, 32 o 64 bits, esa cadena no es única. Por eso el resultado de esta página usa signo y magnitud y no finge un ancho de palabra.

Desbordamiento

Con n bits sin signo se representan valores de 0 a 2ⁿ−1. Ocho bits llegan a 255; dieciséis, a 65,535. Una suma puede requerir un bit adicional. En hardware de ancho fijo ese bit puede descartarse o activar una bandera; en esta calculadora la cadena crece mientras el entero siga dentro del rango seguro de JavaScript.

Aplicaciones reales

El binario aparece en máscaras de red, permisos, registros, compresión y protocolos. Sin embargo, interpretar una dirección IP o aplicar AND, OR y XOR requiere reglas de bits y anchos específicos. Esta página cubre aritmética y conversión de enteros; una calculadora de IP debe dividir una dirección de 32 bits y considerar la máscara.

En almacenamiento, revisa si el prefijo se usa en sentido decimal o binario. Un kilobyte puede referirse informalmente a 1,024 bytes, mientras la norma IEC llama kibibyte (KiB) a 1,024 bytes y el prefijo SI kB a 1,000 bytes. La conversión de base no decide la convención comercial de una unidad.

Ejemplo completo con acarreo

Suma 110101₂ y 10111₂ alineando primero por la derecha: 110101+010111. En la última columna, 1+1 produce 0 y acarreo 1. En la siguiente, 0+1+1 produce 0 y otro acarreo. La tercera reúne 1+1+1, que en binario es 11: escribe 1 y lleva 1. Al completar columnas se obtiene 1001100₂. La comprobación decimal es 53+23=76, y 76 se descompone como 64+8+4, exactamente los bits activos de 1001100.

Si obtienes 001100 o pierdes el bit inicial, el valor sería 12 y la comprobación falla. El acarreo final crea una nueva posición, igual que 900+200 crea un millar en decimal. No limites la salida al ancho del operando mayor a menos que el problema defina un registro fijo y una regla de desbordamiento.

Conversión de hexadecimal sin pasar por decimal

Para convertir 3A7₁₆, sustituye cada dígito por cuatro bits: 3=0011, A=1010 y 7=0111. La cadena queda 001110100111; el cero inicial puede omitirse y resulta 1110100111₂. En sentido contrario, agrupa desde la derecha en bloques de cuatro. Este método es exacto porque 16=2⁴. Para octal se agrupa en bloques de tres porque 8=2³.

División con signo y residuo

La página trunca el cociente entero hacia cero. Para −13÷4 entrega −3 con residuo −1, ya que −13=4×(−3)+(−1). Algunos lenguajes usan división de piso y producirían −4 con residuo 3. Ambas convenciones pueden reconstruir el dividendo, pero no deben mezclarse. Cuando compares con código, identifica primero cómo define cociente y residuo para negativos.

Control de captura

En base dos solo son válidos 0 y 1; en hexadecimal también A–F. Un espacio interno, un prefijo 0b o un separador no se interpreta automáticamente. Captura únicamente los dígitos para evitar que una notación de otro programa cambie el valor. Las letras hexadecimales no distinguen mayúsculas de minúsculas.

Práctica de estimación por longitud

Un binario positivo de n bits cuyo primer bit es 1 está entre 2ⁿ⁻¹ y 2ⁿ−1. Una cadena de ocho bits no puede superar 255. Si 10110101₂ se convierte a 181, es plausible porque se encuentra entre 128 y 255. Esta cota permite detectar una potencia desplazada sin sumar todos los términos.