Kalkulator trójkąta i przekątnej
Z trzech boków wyznacz pole Herona, kąty, obwód i promienie okręgów albo przełącz stół na prostokąt i policz jego przekątną z twierdzenia Pitagorasa. Jednostka pozostaje spójna w całym rachunku.
Dane figury
Szkic i parametry
Od szkicu do pomiaru
Narysuj figurę i przypisz każdej liczbie właściwy bok przed wpisaniem. W trójkącie etykieta kąta odnosi się do boku leżącego naprzeciw, a nie sąsiedniego. W prostokącie zmiana kolejności szerokości i wysokości nie zmienia przekątnej, lecz odwraca prezentowane kąty.
Jeżeli długość pochodzi z planu w skali, przelicz ją przed użyciem. Zapisz także jednostkę źródłową, aby metrów nie pomylić z centymetrami. Dla serii figur przygotuj osobne wiersze, zamiast dodawać boki różnych trójkątów i liczyć jedną sztuczną powierzchnię.
Dodatkowe kontrole geometrii
Gdy znamy pole P i bok a, wysokość wynosi hₐ = 2P/a. Analogicznie liczy się wysokości dla b oraz c. Najdłuższy bok ma najkrótszą wysokość, ponieważ podstawa razy wysokość musi dawać dwa razy to samo pole. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może padać na przedłużenie boku; wzór nadal daje poprawną długość.
Jeśli znasz trzy punkty, policz odległości między parami ze wzoru √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²), a potem wprowadź je jako boki. Pole można też wyznaczyć z wyznacznika współrzędnych i porównać metody. Punkty prawie współliniowe tworzą małe pole oraz dużą wrażliwość na pomiar, więc nie zaokrąglaj odległości pośrednich przed Heronem.
W prostokącie obie przekątne mają równą długość i dzielą się na połowy. Podczas montażu zmierz obie po tych samych punktach. Jeśli różnią się ponad tolerancję projektu, rama jest przekoszona albo pomiar wykonano niespójnie. Nominalna przekątna z kalkulatora jest celem, nie instrukcją korekty. Pary równych przeciwległych boków i zgodne przekątne dają mocniejszą kontrolę niż jeden pomiar.
Po pomnożeniu wszystkich boków przez k obwód i promienie rosną k razy, a pole k² razy. Model 1:50 ma długości pięćdziesiąt razy mniejsze, lecz powierzchnię 2500 razy mniejszą. Kąty i klasyfikacja figur podobnych pozostają bez zmian. Przed kosztorysem przelicz długości do wymiaru rzeczywistego, a dopiero potem odczytaj pole.
W terenie zanotuj temperaturę, punkt przyłożenia taśmy i jej napięcie. Długi odcinek może ugiąć się lub przebiegać po pochyłości, podczas gdy model zakłada prostą odległość w jednej płaszczyźnie. Dla ważnej konstrukcji użyj odpowiedniego sprzętu pomiarowego i tolerancji projektowej.
Dwa zadania, dwa różne główne rezultaty
W trybie trójkąta trzy dodatnie długości muszą spełniać nierówność trójkąta. Z boków narzędzie oblicza półobwód, pole Herona, trzy kąty przez twierdzenie cosinusów, promień okręgu wpisanego i opisanego oraz klasyfikację. Główną liczbą jest pole w jednostce kwadratowej.
W trybie prostokąta dwa prostopadłe boki tworzą trójkąt prostokątny, a jego przeciwprostokątna jest przekątną. Główną liczbą staje się długość przekątnej. Wyniki dodatkowe obejmują pole, obwód i kąty, które przekątna tworzy z bokami. Wybór jednostki nie konwertuje danych; tylko konsekwentnie je opisuje.
Nierówność trójkąta
Każdy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych. Długości 2, 3 i 6 nie zamkną figury, ponieważ 2 + 3 jest mniejsze niż 6. Równość, na przykład 2 + 3 = 5, daje figurę zdegenerowaną o polu zero, a nie właściwy trójkąt.
Skrypt sortuje boki do klasyfikacji, ale zachowuje ich etykiety przy kątach: α leży naprzeciw a, β naprzeciw b, a γ naprzeciw c. Komunikat błędu pojawia się przed pierwiastkowaniem, więc niewłaściwe dane nie są zamieniane na fikcyjne pole.
Wzór Herona krok po kroku
Półobwód s to połowa sumy a + b + c. Pole jest pierwiastkiem z iloczynu s, s − a, s − b i s − c. Wzór jest wygodny, gdy znamy wszystkie boki, ale nie znamy wysokości ani kąta.
Dla boków 3, 4 i 5 półobwód wynosi 6. Iloczyn 6 × 3 × 2 × 1 daje 36, a pierwiastek 6. Ponieważ wejście jest w centymetrach, pole ma centymetry kwadratowe. Nie dopisuj jednostki liniowej do powierzchni.
Kąty z twierdzenia cosinusów
Dla kąta α naprzeciw boku a używamy cos α = (b² + c² − a²)/(2bc). Analogiczne przestawienie daje β i γ. Funkcja arccos zwraca radiany, które kalkulator zamienia na stopnie. Suma kątów powinna wynosić około 180°.
Argument arccos jest ograniczany do przedziału od −1 do 1. To zabezpieczenie przed drobnym błędem zmiennoprzecinkowym dla prawie zdegenerowanych danych, a nie sposób naprawiania nieprawidłowych boków. Bardzo płaski trójkąt pozostaje numerycznie wrażliwy.
Ostro-, prosto- i rozwartokątny
Po posortowaniu boków porównujemy kwadrat najdłuższego z sumą kwadratów dwóch krótszych. Równość oznacza trójkąt prostokątny, mniejszy kwadrat najdłuższego bok — ostrokątny, a większy — rozwartokątny. To konsekwencja twierdzenia cosinusów.
Kalkulator stosuje małą tolerancję względną, ponieważ liczby dziesiętne nie zawsze mają dokładną reprezentację binarną. Dla prac konstrukcyjnych sama etykieta nie zastępuje tolerancji pomiaru. Boki 3000, 4000 i 5001 mm nie są idealnym trójkątem 3–4–5.
Równo-, równoramienny i różnoboczny
Trzy równe boki tworzą trójkąt równoboczny, dwa równe — równoramienny, a brak równych par — różnoboczny. Porównanie używa tolerancji zależnej od skali, aby drobny błąd zapisu nie zmienił oczywistej klasy przy niemal identycznych wartościach.
W pomiarze fizycznym określenie „równe” wymaga ustalonej tolerancji projektu. Kalkulator matematyczny nie zna dokładności taśmy ani wykonania. Jeśli klasyfikacja ma znaczenie odbiorowe, porównaj z dokumentacją techniczną.
Promień okręgu wpisanego
Pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia wpisanego r i półobwodu s, więc r = P/s. Okrąg wpisany dotyka wszystkich trzech boków, a jego środek jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów.
Dla trójkąta 3–4–5 pole 6 podzielone przez półobwód 6 daje promień 1. W bardzo płaskim trójkącie pole i promień zbliżają się do zera. Kalkulator nie wyznacza współrzędnych środka bez położenia w układzie.
Promień okręgu opisanego
Promień R obliczamy jako abc/(4P). Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki. W trójkącie prostokątnym jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej, więc dla 3–4–5 promień wynosi 2,5.
Gdy pole jest bardzo małe, mianownik 4P jest mały, a promień może być ogromny. To poprawna geometria prawie współliniowych punktów, ale także sygnał, że niewielki błąd boków silnie zmienia rezultat.
Przekątna prostokąta
Przekątna łączy przeciwległe wierzchołki i dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Dla boków 3 i 4 jej długość wynosi 5. Druga przekątna ma tę samą długość i przecina pierwszą w połowie.
Kąt przekątnej względem szerokości to arctan(wysokość/szerokość). Drugi ostry kąt uzupełnia go do 90°. Informacja pomaga przy cięciu, ustawieniu stężeń i kontroli prostokątności, ale nie uwzględnia grubości elementu ani punktu pomiaru.
Przekątna dowolnego czworokąta wymaga więcej danych
Wzór √(a²+b²) działa, gdy sąsiednie boki tworzą kąt prosty. Dla równoległoboku, trapezu albo rombu sama długość dwóch boków nie wyznacza przekątnej; potrzebny jest kąt lub inne zależności.
Jeśli konstrukcja ma być prostokątna, zgodne przekątne są użyteczną kontrolą, ale nie wystarczają bez sprawdzenia boków i płaskości. Odkształcona przestrzennie rama może mieć mylące pomiary. Narzędzie rozwiązuje idealny model płaski.
Jednostki liniowe i kwadratowe
Wszystkie długości muszą być w tej samej jednostce. Jeśli jeden bok jest w metrach, a drugi w centymetrach, najpierw wykonaj konwersję. Pole dostaje kwadrat jednostki: m², cm² albo mm². Obwód, promienie i przekątna pozostają liniowe.
Jeden metr kwadratowy to 10 000 cm², a nie 100 cm², ponieważ przelicznik długości jest podnoszony do kwadratu. Zmiana etykiety w selektorze nie przelicza wpisanych liczb; to celowa ochrona przed ukrytą zmianą geometrii.
Precyzja pomiaru i zaokrąglenie
Rezultaty są prezentowane do sześciu miejsc dziesiętnych, lecz nie oznacza to takiej dokładności fizycznej. Jeśli boki zmierzono do pełnego centymetra, pole z sześcioma cyframi po przecinku sugeruje nieistniejącą pewność. Zaokrąglaj zgodnie z najsłabszym pomiarem.
Przy zakupie materiału dodaj zapas wynikający z technologii, cięcia i montażu zamiast używać samego matematycznego pola. Kalkulator nie optymalizuje arkuszy, odpadu ani tolerancji produkcyjnych.
Kontrola niezależnym rachunkiem
Dla trójkąta prostokątnego pole można sprawdzić jako połowę iloczynu przyprostokątnych. Dla 3–4–5 daje 3 × 4/2 = 6, zgodnie z Heronem. Największy kąt powinien leżeć naprzeciw najdłuższego boku.
Dla prostokąta przekątna musi być dłuższa od każdego boku i krótsza od ich sumy. Pole jest iloczynem boków, a obwód dwukrotnością sumy. Te proste zależności pomagają wychwycić pomyloną jednostkę lub literówkę.
Najczęstsze pytania o trójkąty i przekątne
Czy każde trzy dodatnie boki tworzą trójkąt?
Nie. Każdy bok musi być ściśle krótszy od sumy dwóch pozostałych.
Czy wzór Herona wymaga wysokości?
Nie. Wystarczą trzy boki, z których oblicza się półobwód i cztery czynniki pod pierwiastkiem.
Dlaczego pole ma jednostkę kwadratową?
Pole opisuje powierzchnię, więc skala długości działa w dwóch wymiarach i jednostka jest podniesiona do kwadratu.
Czy przekątna prostokąta zawsze jest przeciwprostokątną?
Tak w trójkącie utworzonym przez dwa sąsiednie boki prostokąta i przekątną.
Czy wzór przekątnej działa dla rombu?
Nie na podstawie samych dwóch boków. Potrzebny jest kąt lub inna informacja o konkretnym czworokącie.
Czy zmiana cm na m przelicza dane?
Nie. Selektor tylko oznacza spójnie wpisane liczby; konwersję należy wykonać przed wprowadzeniem.