Potęga jako wielokrotne mnożenie

Dla dodatniego całkowitego wykładnika b zapis aᵇ oznacza iloczyn b takich samych czynników a. Potęga 2¹⁰ to 2 pomnożone przez siebie dziesięć razy, czyli 1 024. Kalkulator korzysta z funkcji potęgowej przeglądarki, ale pokazuje definicję słowną, gdy wykładnik jest małą dodatnią liczbą całkowitą.

Podstawa może być dodatnia, zerowa lub ujemna, jeśli wykładnik całkowity nie łamie dziedziny. Ujemna podstawa do parzystej potęgi daje wartość dodatnią, a do nieparzystej ujemną. Nawiasy są istotne: (−2)²=4, podczas gdy −2² w standardowej kolejności działań oznacza −(2²)=−4.

W polach można użyć przecinka lub kropki dziesiętnej. Wynik nie jest obliczeniem symbolicznym i nie upraszcza wyrażeń z literami. Podstawa i wykładnik muszą być gotowymi liczbami rzeczywistymi.

Wykładnik zerowy i problem 0⁰

Dla każdej niezerowej podstawy potęga zerowa wynosi 1. Wynika to z praw dzielenia potęg: aᵐ/aᵐ=a⁰, a jednocześnie niezerowa liczba podzielona przez siebie daje 1. Warunek a≠0 jest niezbędny.

Zapis 0⁰ jest nieoznaczony w zwykłej elementarnej funkcji potęgowej. W niektórych dziedzinach, na przykład kombinatoryce lub implementacjach, przyjmuje się konwencję 1, ale nie jest to uniwersalna wartość. Kalkulator zgłasza błąd zamiast ukrywać wybór konwencji.

Zero do dodatniej potęgi wynosi zero. Zero do potęgi ujemnej wymagałoby dzielenia przez zero, ponieważ 0⁻ⁿ=1/0ⁿ. Taki przypadek również jest odrzucany.

Ujemny wykładnik jako odwrotność

Potęga a⁻ⁿ jest odwrotnością aⁿ, o ile a nie jest zerem. Przykładowo 2⁻³=1/2³=1/8=0,125. Minus należy do wykładnika i nie oznacza ujemnego wyniku. Znak wyniku zależy od podstawy i parzystości wykładnika całkowitego.

Duża ujemna potęga dodatniej liczby większej od jedności może dać bardzo mały wynik. Gdy wartość spadnie poniżej zakresu typu Number, przeglądarka zapisze zero przez underflow. Strona ostrzega wtedy, że zero jest skutkiem ograniczenia reprezentacji, a nie dowodem matematycznej równości.

Dla podstawy między zerem a jednością sytuacja się odwraca: 0,1⁻³=1 000. Rząd wielkości pomaga zobaczyć ten skok bez liczenia zer w długim zapisie.

Wykładnik wymierny i pierwiastki

Dla odpowiedniej dziedziny a^(p/q) można interpretować jako pierwiastek q-tego stopnia z aᵖ. Na przykład 8^(1/3)=2. W polu potęgi wpisuje się przybliżenie dziesiętne, nie ułamek tekstowy; tryb pierwiastka jest dokładniejszym sposobem wskazania całkowitego stopnia.

Dla dodatniej podstawy dowolny rzeczywisty wykładnik jest zdefiniowany przez funkcję wykładniczą i logarytm: aᵇ=exp(b·ln a). Dla podstawy ujemnej niecałkowity wykładnik wymaga ostrożności. Niektóre wymierne wykładniki o nieparzystym mianowniku dają wynik rzeczywisty, lecz zapis dziesiętny nie zachowuje mianownika.

Dlatego tryb potęgi akceptuje ujemną podstawę tylko przy wykładniku całkowitym. Jeśli chcesz obliczyć pierwiastek sześcienny z −8, wybierz tryb pierwiastka i stopień 3. To eliminuje niejednoznaczność przybliżenia 0,333333.

Pierwiastek n-tego stopnia

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a jest liczbą r, dla której rⁿ=a. Kalkulator wymaga całkowitego stopnia od 2 do 999. Dla dodatniej liczby zwraca główny nieujemny pierwiastek. Pierwiastek kwadratowy z 9 wynosi 3, choć równanie x²=9 ma dwa rozwiązania: −3 i 3.

Dla ujemnej liczby pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje w liczbach rzeczywistych. ∛(−8)=−2. Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest rzeczywisty, dlatego narzędzie odrzuca przypadek zamiast wyświetlać NaN lub przechodzić bez ostrzeżenia do liczb zespolonych.

Pierwiastek z zera wynosi zero dla każdego dodatniego stopnia. Bardzo wysoki stopień dodatniej liczby zbliża wynik do 1, ale nie musi być równy 1. Kontrola podnosi wynik do n i porównuje z radicandem.

Odwrotne zadanie: znajdź x w aˣ=y

Trzeci tryb oblicza wykładnik potrzebny, aby dodatnia podstawa a osiągnęła dodatni cel y. Korzysta z logarytmów: x=ln(y)/ln(a). Przykładowo dla 2ˣ=1 024 wynik wynosi 10.

Podstawa musi być dodatnia i różna od 1. Dla a=1 równanie 1ˣ=y albo nie ma rozwiązania, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy y=1. Cel musi być dodatni, ponieważ dodatnia podstawa do rzeczywistego wykładnika nie daje zera ani liczby ujemnej.

Tryb jest użyteczny przy tempie wzrostu, okresie podwojenia i skali logarytmicznej. Nie rozwiązuje jednak równań z sumą kilku potęg ani z podstawą zależną od x. Po obliczeniu karta podnosi a do znalezionego x i pokazuje względną różnicę od celu.

Prawa działań na potęgach

Przy tej samej podstawie mnożenie potęg dodaje wykładniki: aᵐ·aⁿ=a^(m+n). Dzielenie odejmuje wykładniki, jeśli a≠0. Potęga potęgi mnoży wykładniki: (aᵐ)ⁿ=a^(m·n). Te prawa nie oznaczają, że można dodawać wykładniki przy dodawaniu liczb.

Potęga iloczynu rozdziela się na czynniki: (ab)ⁿ=aⁿbⁿ. Nie istnieje analogiczna reguła (a+b)ⁿ=aⁿ+bⁿ. Dla kwadratu poprawne rozwinięcie zawiera 2ab. Pominięcie wyrazu mieszanego jest jednym z najczęstszych błędów.

Prawa mają warunki dziedziny. Przekształcanie pierwiastków ujemnych jak zwykłych dodatnich liczb może prowadzić do sprzeczności. Narzędzie oblicza jeden przypadek liczbowy, ale nie potwierdza każdego symbolicznego kroku.

Notacja naukowa i rząd wielkości

Notacja naukowa zapisuje niezerową liczbę jako m×10ᵏ, gdzie moduł m jest co najmniej 1 i mniejszy niż 10. Dla 1 024 otrzymujemy 1,024×10³. Wykładnik 3 jest rzędem dziesiętnym wynikającym z położenia przecinka.

Dla wartości 0,001024 zapis wynosi 1,024×10⁻³. Rząd ujemny nie oznacza ujemnej liczby, tylko wartość mniejszą od jedności. Karta ustawia wskaźnik na umownej osi od bardzo małych do bardzo dużych wartości.

Rząd wielkości w ścisłym sensie może być zaokrąglany do najbliższej potęgi dziesięciu, podczas gdy strona pokazuje wykładnik w znormalizowanej notacji naukowej, czyli podłogę logarytmu dziesiętnego modułu. Definicja jest jawna, aby uniknąć sporu na granicy √10.

Liczba cyfr wyniku całkowitego

Dla dodatniej liczby całkowitej liczba cyfr może być wyznaczona jako floor(log10(n))+1. Wynik 1 024 ma cztery cyfry. Zero ma jedną cyfrę. Znak minus nie jest cyfrą i nie zwiększa licznika.

Karta pokazuje tę informację tylko wtedy, gdy wynik jest bezpieczną liczbą całkowitą typu Number. Dla ogromnych potęg przeglądarka nie przechowuje każdej jedności dokładnie, nawet jeśli wyświetla zapis bez części dziesiętnej. Wtedy pojawia się komunikat „poza dokładnym zakresem”.

Można teoretycznie obliczyć liczbę cyfr aᵇ bez wyznaczania samej potęgi, używając b·log10(a). Ten kalkulator wykrywa jednak overflow i nie tworzy fikcyjnej pełnej liczby z samych logarytmów.

Precyzja zmiennoprzecinkowa

JavaScript przechowuje standardowe liczby w formacie podwójnej precyzji. Zapewnia to około 15–17 cyfr znaczących, lecz wiele ułamków dziesiętnych nie ma dokładnego zapisu binarnego. Dlatego działanie odwrotne może dać różnicę rzędu 10⁻¹⁵ mimo poprawnego wzoru.

Jeżeli wynik przekracza około 1,8×10³⁰⁸, powstaje nieskończoność. Kalkulator zgłasza overflow. Bardzo mała wartość może zapaść do zera. Notacja naukowa nie usuwa ograniczenia; zmienia tylko sposób prezentacji.

Do kryptografii, bardzo dużych całkowitych i rachunków wymagających dowolnej precyzji potrzebny jest typ BigInt lub biblioteka dziesiętna. BigInt nie obsługuje ujemnych wykładników ani pierwiastków w ten sam prosty sposób. Ta strona jest kalkulatorem rzeczywistym ogólnego zastosowania.

Typowe błędy w zapisie

Minus przed potęgą, brak nawiasów i pomylenie pierwiastka z dzieleniem przez stopień prowadzą do innych wyników. Pierwiastek sześcienny z 64 wynosi 4, nie 64/3. Potęga 2³ wynosi 8, nie 2×3.

Nie wolno skracać sum pod pierwiastkiem: √(a+b) zwykle nie jest równe √a+√b. Dla a=b=1 lewa strona wynosi √2, a prawa 2. Podobnie √(a²) jest równe |a| w liczbach rzeczywistych, nie zawsze a.

W trybie pierwiastka stopień wpisuje się jako dodatnią liczbę całkowitą. W trybie potęgi wykładnik może być dziesiętny, ale ujemna podstawa zostanie wtedy odrzucona. Wybór właściwego trybu przekazuje informację, której sam zapis 0,333333 nie zachowuje.

Przykład 2¹⁰

Podstawa 2 jest dodatnia, a wykładnik 10 całkowity. Wynik wynosi 1 024. Znormalizowana notacja naukowa to 1,024×10³, zatem wykładnik dziesiętny prezentowany jako rząd wynosi 3. Część całkowita ma cztery cyfry.

Kontrola odwrotna oblicza pierwiastek dziesiątego stopnia z 1 024 i otrzymuje wartość bardzo bliską 2. Względna różnica zależy od arytmetyki przeglądarki i powinna być bliska zeru. Zapis równoważny przypomina, że potęgowanie i pierwiastkowanie są działaniami odwrotnymi w odpowiedniej dziedzinie.

Po przełączeniu na „znajdź wykładnik” można wpisać podstawę 2 i cel 1 024. Równanie ln(1024)/ln(2) daje 10. Trzy tryby spotykają się więc w jednym, łatwym do sprawdzenia przykładzie.

Pytania o potęgi i pierwiastki