La domanda viene prima della formula

Il calcolo combinatorio non consiste nel riconoscere una coppia di lettere come n e k e premere un tasto. Prima si stabilisce che cosa rende due risultati diversi. Se si scelgono tre persone per una commissione, la terna Anna, Bruno e Carla è la stessa qualunque sia l’ordine in cui i nomi vengono elencati. Se invece le tre persone ricevono i ruoli di presidente, segretario e revisore, cambiare l’assegnazione produce un risultato nuovo. Nel primo caso servono combinazioni; nel secondo disposizioni.

La seconda domanda è se un elemento possa comparire più volte. In un’estrazione senza reinserimento una pallina non è più disponibile dopo essere uscita. In un codice di tre cifre, invece, il simbolo 7 può occupare più posizioni. La presenza della ripetizione cambia il conteggio e non è un dettaglio tecnico. Il banco di calcolo espone queste scelte perché un numero esatto ottenuto da un modello sbagliato resta una risposta sbagliata.

Un mini percorso decisionale

Annota l’oggetto che stai formando: gruppo, sequenza, graduatoria, password o serie di successi. Chiediti se invertire due elementi genera un esito distinto. Poi verifica se il medesimo elemento è riutilizzabile. Infine individua quanti elementi sono disponibili, n, e quanti posti o scelte compongono l’esito, k. Solo a questo punto seleziona la famiglia coerente.

Cinque famiglie di conteggio

Combinazioni senza ripetizione

Le combinazioni contano gruppi non ordinati di k elementi distinti scelti tra n. La formula è n! diviso k! per (n−k)!. Scegliere 3 libri da una biblioteca personale di 10 titoli produce 120 gruppi. L’ordine con cui li appoggi sul tavolo non crea una nuova scelta. È necessario che k non superi n.

Disposizioni senza ripetizione

Le disposizioni contano sequenze ordinate di k elementi distinti: n!/(n−k)!. Con 10 finalisti e tre posti sul podio si ottengono 10 × 9 × 8, cioè 720 esiti. Ogni terna di persone compare in sei ordini, perché i tre ruoli sono diversi.

Permutazioni semplici

Quando tutti gli n elementi distinti vengono ordinati, k coincide con n e il numero è n!. Sei fotografie diverse possono essere allineate in 720 modi. Questo modulo considera elementi distinti; se alcune fotografie fossero copie indistinguibili, bisognerebbe dividere per i fattoriali delle molteplicità.

Combinazioni con ripetizione

Se l’ordine non conta e ogni tipo può essere scelto più volte, la formula è (n+k−1)!/[k!(n−1)!]. È il modello delle scelte di k palline di gelato tra n gusti quando due palline possono avere lo stesso gusto e ci interessa solo la composizione. Richiede almeno un tipo disponibile quando k è positivo.

Disposizioni con ripetizione

Per k posizioni ordinate, ciascuna riempibile con uno degli n simboli, il conteggio è n elevato a k. Un PIN di quattro cifre, includendo lo zero iniziale e consentendo ripetizioni, ha 10.000 sequenze. Se il primo simbolo ha vincoli diversi, non basta questa formula: si applica il principio di moltiplicazione posizione per posizione.

Fattoriali grandi e risultato esatto

Il fattoriale cresce molto rapidamente. Già 20! supera due miliardi di miliardi. Il calcolatore usa interi arbitrariamente grandi per il conteggio, quindi non arrotonda una combinazione a una notazione scientifica. Il risultato può avere migliaia di cifre; per mantenerlo leggibile, il riquadro indica anche la formula e lascia andare a capo la stringa.

Un risultato esatto non implica che sia pratico elencare ogni esito. Se devi generare davvero combinazioni, considera memoria e tempo: contare richiede poche operazioni, enumerare richiede almeno un’operazione per ogni oggetto prodotto. Un numero enorme è spesso un segnale che serve campionamento, programmazione dinamica o una descrizione simbolica.

Zero e casi limite

Per convenzione 0! vale 1. Esiste un solo modo di scegliere zero elementi: la scelta vuota. Perciò C(n,0)=1 e una sequenza di lunghezza zero ha un esito. Queste convenzioni fanno funzionare identità e formule senza eccezioni artificiali. Al contrario, scegliere più elementi distinti di quanti siano disponibili non è consentito.

Quando usare il modello binomiale

La distribuzione binomiale descrive il numero di successi in n prove quando ogni prova ha due esiti classificati come successo e insuccesso, la probabilità p resta costante e le prove sono indipendenti. La probabilità di esattamente k successi è C(n,k) p^k (1−p)^(n−k). Il coefficiente combinatorio conta quali prove hanno avuto successo; le potenze assegnano la probabilità a ciascuna sequenza.

“Almeno k” significa sommare da k a n; “al massimo k” somma da zero a k. Le parole includono la soglia, una fonte frequente di errori negli esercizi. Il modulo calcola le code sommando i termini mediante logaritmi, così evita che fattoriali intermedi mandino in overflow il browser. Piccole differenze possono comunque apparire nelle ultime cifre per l’aritmetica in virgola mobile.

Indipendenza e probabilità costante

Lanciare ripetutamente una moneta idealizzata è un esempio naturale. Estrarre carte senza reinserimento non è binomiale perché la probabilità cambia dopo ogni carta; in quel caso può servire la distribuzione ipergeometrica. Anche un tasso di risposta che cambia giorno per giorno viola l’ipotesi di p costante. Non compensare una violazione inserendo una media senza valutare l’effetto.

Valore atteso e dispersione

Il valore atteso è n×p e la deviazione standard è la radice di n×p×(1−p). La media non è una previsione certa del prossimo esperimento; è il centro di molte ripetizioni. Una probabilità dell’8% non significa che l’evento accada esattamente otto volte ogni cento prove, ma che la frequenza tende a stabilizzarsi con un numero molto grande di esperimenti coerenti.

Leggere percentuali molto piccole

Il risultato binomiale appare in percentuale e, quando è molto piccolo, anche in notazione scientifica. Una probabilità di 0,01% equivale in media a circa un caso ogni 10.000 prove indipendenti, non alla garanzia che il decimillesimo tentativo abbia successo. Il complementare mostra la probabilità che l’evento selezionato non si verifichi e aiuta a controllare che i due valori sommino a 100% salvo arrotondamenti.

Evita di trasformare automaticamente una probabilità statistica in un giudizio individuale. In medicina, finanza o sicurezza il modello deve essere validato e includere dipendenze, selezione del campione e costi degli errori. Questo strumento svolge aritmetica su parametri forniti dall’utente; non stima p da dati grezzi e non sostituisce l’analisi del processo.

Controlli manuali utili

Per esattamente zero successi il risultato deve essere (1−p)^n; per almeno zero deve essere 100%; per al massimo n deve essere 100%. Se p è zero, solo zero successi è possibile; se p è uno, sono possibili soltanto n successi. Questi casi semplici sono ottimi test prima di usare un risultato in una relazione.

Tre esempi italiani quotidiani

Una commissione scolastica

Tra 12 candidati si scelgono 4 membri senza ruoli. Ordine irrilevante e nessuna ripetizione indicano C(12,4)=495. Se in seguito si assegnano quattro cariche differenti agli stessi candidati, il problema diventa una disposizione: 12×11×10×9=11.880.

Un codice per l’armadietto

Un codice di cinque cifre consente ripetizioni e considera diversa ogni posizione. Con dieci simboli, inclusi gli zeri iniziali, ci sono 10^5=100.000 codici. Se lo zero non potesse essere il primo, il primo posto avrebbe nove scelte e i successivi dieci: 9×10^4.

Controlli con esito positivo

Un dispositivo supera un controllo con probabilità 90% indipendente per ciascun pezzo. La probabilità che esattamente 18 su 20 lo superino usa n=20, k=18, p=90 e l’evento esatto. Se i pezzi provengono dallo stesso lotto e condividono un difetto, l’indipendenza potrebbe non essere credibile: il risultato va presentato come scenario, non come frequenza certa.