Énoncé du théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le plus long du triangle. Avec les côtés de l’angle droit a et b et l’hypoténuse c, l’égalité est c² = a² + b².

Le théorème part d’une information géométrique : l’angle droit est déjà connu ou démontré. Il permet ensuite de calculer une longueur manquante. Écrire d’abord le nom du triangle, son angle droit et l’hypoténuse évite d’appliquer la formule avec le mauvais côté. En France, cette démarche est travaillée dès la classe de quatrième et réutilisée dans le plan et l’espace.

Calculer l’hypoténuse

Pour un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 et 4 unités, on calcule 3² = 9 et 4² = 16. Leur somme vaut 25. La racine carrée positive de 25 est 5, donc l’hypoténuse mesure 5 unités. On retient la racine positive parce qu’une longueur ne peut pas être négative.

Avec des valeurs non entières, conservez les nombres complets jusqu’à la racine. Par exemple, a = 2,4 m et b = 3,7 m donnent c = √(5,76 + 13,69) = √19,45, soit environ 4,4102 m. Arrondir 19,45 à 19 avant la racine produirait une erreur inutile. Mentionnez l’approximation avec le symbole ≈ lorsque le résultat est arrondi.

Calculer un côté de l’angle droit

Si l’hypoténuse c et un côté a sont connus, on isole l’autre côté : b² = c² − a² puis b = √(c² − a²). Avec c = 5 et a = 4, la différence est 25 − 16 = 9 ; b vaut 3. La soustraction, et non l’addition, est donc utilisée pour un côté court.

L’hypoténuse doit être strictement supérieure au côté connu. Si a vaut 6 et c vaut 5, c² − a² est négatif : aucun triangle rectangle réel ne correspond à ces données avec c comme hypoténuse. Cette erreur révèle souvent un mauvais étiquetage ou une mesure incohérente. Le calculateur refuse le cas au lieu de masquer la racine impossible.

Réciproque pour vérifier un triangle rectangle

La réciproque répond à la question inverse. Si, dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle et le plus long côté est son hypoténuse. Pour 3, 4 et 5, 5² = 3² + 4² ; le triangle est donc rectangle.

Le mode de vérification suppose que c est le plus long côté. Il calcule l’écart c² − a² − b². Avec des longueurs exactes, on attend zéro. Avec des mesures de chantier, un petit écart peut provenir de la précision des instruments. La tolérance doit être choisie dans l’unité au carré et justifiée ; elle ne transforme pas une construction approximative en preuve mathématique exacte.

Contraposée et démonstration

Pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle, on peut calculer les deux membres et constater qu’ils sont différents. Il faut comparer le carré du plus long côté à la somme des deux autres carrés. Cette méthode correspond à l’usage de la contraposée : si l’égalité n’est pas vérifiée, le triangle n’est pas rectangle à l’angle considéré.

Une rédaction complète ne se limite pas à « 25 = 25 ». Elle précise : c est le plus grand côté ; d’une part c² vaut telle valeur ; d’autre part a² + b² vaut telle valeur ; les valeurs sont égales ; donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. La distinction entre théorème direct et réciproque montre quelle information est donnée et laquelle est prouvée.

Aire, périmètre et angles

Une fois les trois côtés connus, le périmètre vaut a + b + c. L’aire d’un triangle rectangle est a × b / 2, car les deux côtés forment une base et une hauteur perpendiculaires. Pour le triangle 3–4–5, le périmètre vaut 12 et l’aire 6 unités carrées. L’unité d’aire doit être élevée au carré.

Les angles aigus peuvent être obtenus par trigonométrie. L’angle opposé à a vaut arctangente de a/b, et l’autre complète 90°. Ces valeurs servent de contrôle mais ne remplacent pas la preuve de l’angle droit. Une calculatrice doit être en degrés si la sortie est attendue en degrés ; le mode radians produirait des nombres différents.

Triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un ensemble d’entiers positifs vérifiant a² + b² = c². Les exemples classiques sont 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 et 7–24–25. Tout multiple commun conserve l’égalité : 6–8–10 forme le même triangle à une échelle double.

Sur un chantier, la règle 3–4–5 permet de matérialiser un angle droit avec trois longueurs, mais les cordes, points de référence et tolérances doivent être maîtrisés. Pour une grande structure ou une implantation réglementée, utilisez des instruments et un professionnel. Le triplet fournit une géométrie, pas une certification de conformité.

Diagonale d’un rectangle et distance entre deux points

La diagonale d’un rectangle est l’hypoténuse d’un triangle dont les côtés sont la longueur et la largeur. Un écran ou une pièce de 1,2 m par 0,9 m possède une diagonale √(1,44 + 0,81) = 1,5 m. Les trois dimensions d’un pavé droit exigent une seconde application : d = √(L² + l² + h²).

Dans un repère, la distance entre A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂) vient aussi de Pythagore : √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Les différences peuvent être négatives, mais leurs carrés sont positifs. Pour des coordonnées géographiques sur une grande distance, la Terre n’est pas un plan et une formule géodésique est préférable.

Erreurs fréquentes

1. Choisir comme c un côté qui n’est pas opposé à l’angle droit ou qui n’est pas le plus long.
2. Écrire c = a² + b² et oublier la racine carrée.
3. Calculer (a + b)² au lieu de a² + b².
4. Additionner les carrés pour chercher un côté court au lieu de soustraire.
5. Mélanger centimètres et mètres avant de mettre au carré.
6. Arrondir chaque carré trop tôt et annoncer une égalité exacte avec des mesures approchées.

Une estimation mentale aide à détecter une faute : l’hypoténuse doit être plus grande que chaque côté, mais plus petite que leur somme. Pour 3 et 4, un résultat 7 ou 2 est donc impossible. Le contrôle final c² ≈ a² + b² doit être refait avec les valeurs non arrondies.

Unités et changement d’échelle

Les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant de les élever au carré. Si a est en mètres et b en centimètres, convertissez l’un des deux : additionner directement leurs carrés n’a aucun sens. Les termes a², b² et c² portent une unité carrée pendant le calcul, puis la racine redonne une longueur dans l’unité de départ.

Un agrandissement de facteur k multiplie chaque longueur par k, le périmètre par k et l’aire par k². L’égalité de Pythagore reste vraie parce que chacun des trois carrés est multiplié par le même facteur k². Cette propriété explique pourquoi tous les multiples de 3–4–5 restent des triangles rectangles semblables.

Quand Pythagore ne suffit pas

Le théorème direct exige un triangle rectangle. Si aucun angle droit n’est connu, la loi des cosinus relie trois côtés et un angle : c² = a² + b² − 2ab cos(C). Pythagore est le cas particulier où C = 90° et cos(C) = 0. Ne supposez pas un angle droit parce que le dessin en a l’apparence.

Pour une longueur sur une surface courbe, un relevé topographique, une charpente ou un élément porteur, la géométrie plane n’est qu’une partie du problème. Déformations, pentes, projections et normes demandent une méthode adaptée. Le module calcule une figure théorique et ne valide aucune structure.

Les résultats supposent des longueurs exprimées dans la même unité et un triangle non dégénéré. Pour une implantation, une construction ou une mesure de sécurité, tenez compte des tolérances et faites vérifier la géométrie réelle.

Questions fréquentes