Co oblicza kalkulator całek

Narzędzie oblicza przybliżenie całki oznaczonej funkcji jednej zmiennej na skończonym przedziale. Wynik jest liczbą, która opisuje sumę zorientowanych wkładów między wykresem a osią x. Nie wyznacza ogólnej funkcji pierwotnej z dowolną stałą C.

Dla funkcji ciągłej całka oznaczona może zostać obliczona z twierdzenia Newtona–Leibniza, jeśli znamy funkcję pierwotną. Program wybiera inną drogę: próbuje wartości f(x) w wielu punktach i składa je według reguły Simpsona. Dzięki temu radzi sobie także wtedy, gdy symboliczne przekształcenie jest niewygodne.

Numeryczny rezultat ma ograniczoną dokładność. Zależy od gładkości funkcji, granic, liczby podprzedziałów i arytmetyki zmiennoprzecinkowej. Dodatkowe cyfry na ekranie pomagają porównywać siatki, ale nie są automatycznym dowodem dziesięciu poprawnych miejsc.

Całka oznaczona a nieoznaczona

Zapis ∫f(x)dx bez granic oznacza rodzinę funkcji pierwotnych F(x)+C, których pochodna jest równa f(x). Zapis z granicami a i b oznacza liczbę. Jeżeli istnieje odpowiednia funkcja pierwotna, liczba jest równa F(b)−F(a).

Kalkulator wymaga obu granic, dlatego nie odpowie „x³/3+C” dla x². Dla przedziału 0–3 obliczy natomiast wartość 9. To rozróżnienie jest ważne w zadaniach: pytanie o pole lub sumę w przedziale nie jest tym samym co prośba o całkę nieoznaczoną.

Nie należy dopisywać C do liczbowego rezultatu. Stała znika w różnicy F(b)−F(a). Jeśli potrzebujesz wzoru symbolicznego, zastosuj reguły rachunku całkowego lub system algebry komputerowej i sprawdź wynik przez różniczkowanie.

Pole zorientowane i pole geometryczne

Fragment wykresu nad osią x wnosi wartość dodatnią, a fragment pod osią ujemną. Mogą się częściowo lub całkowicie skasować. Funkcja nieparzysta x³ na symetrycznym przedziale od −2 do 2 ma całkę zero, chociaż widoczne obszary nie znikają.

Dlatego karta pokazuje także całkę z wartości bezwzględnej |f(x)|, obliczoną tą samą metodą. Jest ona przybliżeniem łącznego pola geometrycznego między wykresem a osią, jeśli funkcja i podział spełniają warunki. Dla funkcji zawsze nieujemnej oba wyniki są równe.

Kolor niebieski na wykresie oznacza próbki nad osią, a pomarańczowy pod osią. Wąskie pionowe pasy są wizualizacją, nie dokładnymi prostokątami użytymi przez Simpsona. Obliczenie korzysta z wag 1, 4, 2, 4 i tak dalej.

Jak działa złożona reguła Simpsona

Przedział jest dzielony na parzystą liczbę równych podprzedziałów. Wartości na końcach otrzymują wagę 1, punkty o nieparzystym numerze wagę 4, a pozostałe punkty wewnętrzne wagę 2. Suma jest mnożona przez szerokość kroku podzieloną przez trzy.

Reguła odpowiada lokalnemu przybliżeniu funkcji parabolą, dlatego dla wielomianów do trzeciego stopnia daje dokładny wynik w idealnej arytmetyce. Dla gładkich funkcji błąd zwykle szybko maleje przy zagęszczaniu siatki. Nie działa jednak magicznie przy nieciągłości.

Formularz wymaga co najmniej 10 podprzedziałów i maksymalnie 20 000. Następnie wykonuje drugi rachunek z 2n, więc najgęstsza siatka może mieć 40 000 odcinków. Limit chroni przeglądarkę przed przypadkowym zamrożeniem.

Dlaczego porównujemy n oraz 2n

Dwie zgodne liczby zwiększają zaufanie, że siatka jest wystarczająco gęsta dla danej funkcji, ale nie stanowią dowodu. Karta pokazuje Sₙ, S₂ₙ oraz ich różnicę. Dla gładkiego przypadku Simpson ma typowy rząd błędu czwarty, więc |S₂ₙ−Sₙ|/15 bywa użytecznym przybliżeniem błędu gęstszej siatki.

To oszacowanie zakłada regularne zachowanie funkcji i zakres asymptotyczny. Może być całkowicie mylące, jeśli oba podziały omijają wąski pik, próbkują oscylację w tych samych fazach albo przechodzą przez nieoznaczoną wartość w szczególny sposób.

Zwiększ n i obserwuj stabilizację. Następnie porównaj z wartością analityczną dla prostego testu. Jeżeli zmieniają się ważne cyfry, raportuj mniej miejsc albo zastosuj metodę adaptacyjną, która zagęszcza siatkę lokalnie.

Bezpieczny parser zamiast wykonywania tekstu

Wpisana funkcja nie jest przekazywana do eval ani konstruktora kodu. Tokenizer rozpoznaje tylko liczby, ustalone identyfikatory, nawiasy i operatory. Parser buduje drzewo wyrażenia według kolejności działań, a oddzielny interpreter oblicza je dla kolejnych x.

Dozwolone funkcje to sin, cos, tan, sqrt, abs, ln i exp. Stałe pi oraz e można wpisywać bez nawiasów. Funkcja wymaga nawiasu, na przykład sin(x). Zapis „2x” jest odrzucany; użyj 2*x, aby mnożenie było jednoznaczne.

Potęgowanie używa symbolu ^ i jest prawostronnie łączone. Zapis 2^3^2 jest interpretowany jako 2^(3^2). Unary minus ma niższy priorytet niż potęga, więc −x^2 oznacza −(x^2). Gdy intencją jest kwadrat liczby ujemnej, wpisz (−x)^2.

Dziedzina, osobliwości i dzielenie przez zero

Jeżeli którykolwiek punkt siatki daje NaN lub nieskończoność, rachunek zostaje zatrzymany. Przykładowo 1/x na przedziale od −1 do 1 jest nieokreślone w zerze. Nie wolno uznać wartości głównej zero za zwykłą całkę właściwą tylko dlatego, że części są symetryczne.

Funkcja ln(x) nie jest rzeczywista dla x≤0, a sqrt(x) dla x<0. Tangens ma asymptoty. Nawet jeśli osobliwość nie trafia dokładnie w węzeł, duże wartości w pobliżu mogą powodować niestabilny wynik. Podziel przedział w znanych punktach i przeanalizuj całkę niewłaściwą oddzielnie.

Nieciągłość skokowa może być całkowalna, ale klasyczny szacunek błędu Simpsona nie ma wtedy zwykłego znaczenia. Ustaw granicę podziału dokładnie w miejscu skoku i zsumuj wyniki z obu stron. Zapis funkcji warunkowej nie jest obsługiwany w parserze.

Granice odwrócone i granica równa

Jeśli a jest większe od b, algorytm zachowuje ujemny krok i automatycznie zmienia znak całki. To odpowiada własności ∫ od b do a równej minus ∫ od a do b. Wykres nadal pokazuje zakres uporządkowany rosnąco, a opis informuje o odwróceniu.

Gdy obie granice są równe, wartość wynosi zero niezależnie od funkcji, o ile zapis można poprawnie zinterpretować. Pole nie ma szerokości. Dla czytelności wykres rozszerza wtedy zakres pomocniczo wokół punktu, lecz rezultat pozostaje zerowy.

Granice mogą być prostymi wyrażeniami stałymi, takimi jak pi/2, −sqrt(2) czy 3*e. Nie mogą zawierać x, ponieważ wtedy nie byłyby stałymi końcami jednowymiarowego przedziału.

Oscylacje i bardzo wąskie cechy

Funkcja sin(1000*x) może wykonać setki oscylacji w krótkim przedziale. Jeśli krok siatki przypadkowo trafia w podobne fazy, wynik może wyglądać stabilnie mimo niedostatecznego próbkowania. Liczba podprzedziałów powinna wyraźnie przewyższać liczbę zmian funkcji.

Wąski pik exp(−10000*(x−0.3)^2) może zostać pominięty, gdy żaden węzeł nie trafi w jego okolice. Wykres używa tylko kilkuset punktów i również może go nie pokazać. Metoda adaptacyjna albo analityczne wskazanie lokalizacji jest bezpieczniejsze.

Silne odejmowanie dodatnich i ujemnych obszarów zwiększa błąd względny wyniku bliskiego zeru. W takiej sytuacji porównaj całkę bezwzględną z wartością zorientowaną. Duża pierwsza i mała druga oznaczają wrażliwe kasowanie.

Jednostki fizyczne wyniku

Jeśli x jest czasem w sekundach, a f(x) prędkością w metrach na sekundę, całka ma jednostkę metrów i opisuje przemieszczenie zorientowane. Całka z wartości bezwzględnej prędkości może opisywać drogę, jeśli spełnione są założenia modelu.

Jeżeli f jest gęstością w kilogramach na metr, a x długością w metrach, wynik ma kilogramy. Nie wpisuje się jednostek do pola funkcji, ponieważ parser ich nie rozpoznaje. Zapisz je obok danych i pomnóż symbolicznie podczas interpretacji.

Całka pola przekroju po długości może dać objętość, a całka mocy po czasie energię. Wspólny mechanizm nie gwarantuje jednak, że model jest fizycznie poprawny. Granice, układ współrzędnych i jednostki muszą być spójne.

Testy na funkcjach o znanej wartości

Dla f(x)=1 od 2 do 7 wynik powinien wynosić 5. Dla x od 0 do 1 powinien wynosić 0,5, a dla x^2 około 1/3. Simpson powinien odtworzyć wielomian drugiego stopnia z bardzo małym błędem numerycznym.

Dla sin(x) od 0 do pi wartość wynosi 2. Dla cos(x) od 0 do 2*pi wynosi zero, choć całka bezwzględna wynosi 4. Takie przypadki sprawdzają funkcje, stałą pi, orientację i kasowanie znaków.

Domyślna funkcja sin(x)+x^2/4 na odcinku 0–pi jest nieujemna. Jej dokładna wartość to 2+pi^3/12, około 4,58385639. Zgodność wyniku pokazuje, że parser potęgi i sinus oraz kwadratura działają razem.

Zaokrąglanie i zapis bardzo dużych liczb

Standardowy wynik jest wyświetlany do dziesięciu miejsc po przecinku. Bardzo duża lub bardzo mała wartość przechodzi na notację naukową, aby nie tworzyć szeregu zer. Separator dziesiętny w wyniku jest polski, ale w wyrażeniu liczbowym użyj kropki.

Obliczenia korzystają z typu Number przeglądarki. Około 16 cyfr znaczących to ograniczenie reprezentacji, nie metody całkowania. Dodawanie bardzo małych składników do ogromnej sumy może je utracić. Zwiększenie n nie zawsze poprawia rezultat bez końca.

Raportuj dokładność wynikającą z problemu. Jeśli dane wejściowe mają trzy cyfry znaczące, dziesięciocyfrowy rezultat nie staje się fizycznie dokładniejszy. Użyj różnicy siatek jako jednego z sygnałów, a nie jedynego kryterium.

Pytania o kalkulator całek